计算方法：第五章习题答案修改稿

1、第五章习题答案1. 用Jacobi迭代法求解方程组取初值问Jacobi迭代法是否收敛？若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？解：先将方程组化成便于迭代的形式，以分别除以三个方程两边得 ， 迭代矩阵由于故Jacobi迭代法收敛。由公式 及可得所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于2. 设方程组 考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组的收敛性； 用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组，要求时迭代终止。解：（1） 因为，故Jacobi迭代法收敛。又：所以Gauss-Seidel的迭代矩阵 因为故Gauss-Seidel迭代

2、法收敛。据方程组的Jacobi迭代格式：取计算求得 由于，因此，所求的解为 另据Gauss-Seidel迭代格式为： 取计算求得 由于，因此，所求的解为 因为系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。此方程组的Jacobi迭代格式为：取，可求得由于故所求解为：据Gauss-Seidel迭代格式：取求得： 由于，故所求解为： 3. 设方程组试考察此方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。解：所给方程组的Jacobi迭代矩阵因为解得：则，所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。所给方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵因为

3、解得：则所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法收敛。Jacobi迭代矩阵因为则，所以解此方程组Jacobi迭代法收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵因为解得： 则，所以解此方程组Gauss-Seidel迭代法不收敛。4. 如何对方程组进行调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛？试对调整后得方程用Gauss-Seidel迭代法求解，要求当时迭代终止。解：调整后为：这是按行严格对角占优方程组，故Gauss-Seidel迭代法收敛。Gauss-Seidel迭代格式为：取求得：所以5. 讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组的收敛性，如果收敛，比较哪种方

4、法收敛较快，其中解：Jacobi迭代法迭代矩阵，所以，Jacobi迭代收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵所以，Gauss-Seidel迭代收敛因为，故Gauss-Seidel迭代法较Jacobi迭代法收敛快。Jacobi迭代法迭代矩阵所以，Jacobi迭代不收敛。Gauss-Seidel迭代：所以，Gauss-Seidel迭代收敛。6. 设方程组的系数矩阵，试求能使Jacobi迭代法收敛的的取值范围。解：当时，Jacobi迭代矩阵由得故，由得时，Jabico迭代法收敛。7. 设方程组，系数矩阵为试给出能使Guass-Seidel迭代收敛的充要条件。解：Gauss-Seidel迭代矩阵由，得

5、Guass-Seidel迭代收敛的充要条件是。8. 给定方程组证明：解此方程组的Jacobi迭代法发散，而Gauss-seidel迭代法收敛。证明：Jacobi迭代矩阵解得：所以，Jacobi迭代法发散。又Gauss-seidel迭代矩阵为可见，G的特征值为所以，Gauss-seidel迭代法收敛。9. 设求解方程组的Jacobi迭代法的迭代矩阵为（L,U分别为上、下三角矩阵），求证当时解此方程组的Gauss-seidel迭代格式收敛。证明：Gauss-seidel迭代矩阵为设是任一特征值，是的属于的特征向量，即 于是 从而 故有 ，法收敛。10. 用SOR迭代法求解方程组（取）要求当时迭代终

6、止。解：SOR迭代公式为：取初值，迭代可得： ，所以所求解11. 用SOR迭代法求解方程组（分别取）要求当时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数（精确解为）。解：SOR迭代公式为：取，初值，迭代5次达到精度要求取，初值，迭代6次达到精度要求取，初值，迭代6次达到精度要求12. 设矩阵A非奇异，试证明Gauss-seidel迭代法求解方程组时是收敛的。证明：A非奇异，对， .对任一给定n维向量恒有从而 即 正定， 又对称，所以 Gauss-seidel迭代法收敛。13. 证明矩阵对于是正定的，而Jacobi迭代法只对是收敛的。证明：A是对称的，若A正定，则其各阶顺序主子式应大于0，即所以当时，矩阵A是正定的。的Jacobi迭代阵，得，所以得即当时，Jacobi迭代收敛。14. 设A 为正交矩阵，证明用Gauss-seidel迭代法求解方程时必收敛。证：因A 为正交矩阵，则，设是A的特征值，则有使两边与作内积，有从而有，则，故设 ， ，是任一特征值则 （为特征值