数学建模西南大学数学与统计学院

1、数学建模,西南大学数学与统计学院 2007.07.01,数学建模的方法和步骤,数学建模的基本方法 机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律 测试分析：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 二者结合：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数 机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,数学建模的一般步骤,模 型 准 备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,数学建模的一般步骤（续）,模 型 假 设,针对问题特点和建模目的,作出合理的

2、、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模 型 构 成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤（续）,模型 求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型 分析,模型 检验,与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信

3、息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,数学建模实例,线性规划模型 例题1 奶制品的生产销售计划 非线性规划模型 例题2 供应与选址 统计回归模型 例题3 牙膏的销售量,例1 奶制品的生产销售计划,制订生产计划，使每天净利润最大,30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？,50桶牛奶, 480小时,至多100公斤A1,B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？,出售x1 千克 A1, x2 千克 A2，,X3千克 B1, x4千克 B2,原料供应,劳动时间,加工能力,决策变量,目标函数,利润,约束条件,非负约束,x5千克 A1加工B1， x

4、6千克 A2加工B2,附加约束,模型求解,软件实现,MATLAB 7.1,% plan.m c = -24 -16 -44 -32 3 3; A = 4 3 0 0 4 3; 4 2 0 0 6 4;1 0 0 0 1 0; b = 600; 480; 100; aeq = 0 0 1 0 -0.8 0;0 0 0 1 0 -0.75; beq = zeros(2,1); xLB = zeros(6,1); xUB = inf * ones(6,1); x,fval = linprog(c,A,b,aeq,beq,xLB,xUB),转换：,结果解释,每天销售168 千克A2和19.2 千克B1

5、， 利润3460.8（元）,8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2， 将得到的24千克A1全部加工成B1,除加工能力外均为紧约束,例2 供应与选址,某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d（吨）如下： 为了保障供应，需修建两个料场，日储量各为20吨，问应该建在何处，使总的吨千米数最小，并试制定每天的供应计划。,模型建立,记工地的位置为,，水泥日用量为,；料场位置为,，日储量为,，从料场j向工地i的运送量为,，则,模型为：,(1) 编写M文件liaoch.m定义目标函数 % liaoch.m function f=liaoch(z) a

6、=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25; b=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75; d=3 5 4 7 6 11; e=20 20; f1=0; for i=1:6 s(i)=sqrt(z(13)-a(i)2+(z(14)-b(i)2); f1=s(i)*z(i)+f1; end f2=0; for i=7:12 s(i)=sqrt(z(15)-a(i-6)2+(z(16)-b(i-6)2); f2=s(i)*z(i)+f2; end f = f1 + f2;,MATLAB 7.1中编程实现,（2）工地分布及需求量示意图 a=1.25 8.75 0.5 5.75

7、3 7.25; b=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75; scatter(a,b) 由图可以估计A、B料场的地址，根据图，选取初值为: x0=3 0 4 5 4 0 0 5 0 2 2 11 3 4 7 6.5,（3）编写主程序xuanzhi.m % xuanzhi.m A=1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0; b=20;20; Aeq=eye(6) eye(6) zeros(6,4); beq=3 5 4 7 6 11 VLB=zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-i

8、nf; x0=3 0 4 5 4 0 0 5 0 2 2 11 3 4 7 6.5; x,fval,exitflag=fmincon(liaoch, x0, A, b, Aeq, beq,VLB),(4)结果为 x = Columns 1 through 6 3.0000 0 4.0000 7.0000 6.0000 0 Columns 7 through 12 0 5.0000 0 0.0000 0 11.0000 Columns 13 through 16 3.2549 5.6523 7.2500 7.7500 fval = 85.2660 exitflag = 5,由计算结果可以得出，两

9、个新料场的坐标分别为A(3.25，5.65)、B(7.25，7.75)，由料场A、B向6个工地运料方案为： 总的吨千米数为85.2660。 说明：在本例中，若取不同的初值进行计算，可能得不到最优解，结果也不一定相同，说明fmincon函数对初值的敏感性。,结果解释,约束条件为非线性,使用MATLAB优化工具箱求解约束条件式中有非线性约束的例子：,（1）建立M文件aimfun.m，定义目标函数： %aimfun function f=aimfun(x); f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);,MATLAB 7.1中编程实现,(2)

10、再建立M文件constrs.m ，定义非线性约束： %constrs.m function g,ceq = constrs(x) g=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10; ceq=x(1)+x(2);,(3) 主程序main.m为： %main.m x0 = -1;1; A=; b=; Aeq=1 1; beq=0; LB=;UB=; x,fval=fmincon(constr1,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB,constrs),(4) 运行结果为： x = -1.2247 1.2247 fval = 1.8951,例3 牙膏的销售量,问题,建

11、立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型,预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量,收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价,基本模型,y 公司牙膏销售量,x1其它厂家与本公司价格差,x2公司广告费用,x1, x2解释变量(回归变量, 自变量),y被解释变量（因变量）,0, 1 , 2 , 3 回归系数,随机误差（均值为零的正态分布随机变量）, x1 = -0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05

12、-0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55; y = 7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26; scatter(x1,y), title(图1 y对x1的散点图) x2 = 5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50

13、6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80; scatter(x2,y), title(图2 y对x2的散点图),MATLAB 7.1中编程实现,MATLAB 统计工具箱,模型求解,b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha),输入,x= n4数据矩阵, 第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05),b的估计值,bintb的置信区间,r 残差向量y-xb,rintr的置信区间,Stats 检验统计量 R2,F,

14、p,yn维数据向量,输出,由数据 y,x1,x2估计, x = ones(size(x1);x1;x2;x2.2; X = x.; Y = y.; b,bint,r,rint,stats = regress(Y,X,0.05),MATLAB 7.1中编程实现,结果分析,y的90.54%可由模型确定,F远超过F检验的临界值,p远小于=0.05,2的置信区间包含零点(右端点距零点很近),x2对因变量y 的影响不太显著,x22项显著,可将x2保留在模型中,模型从整体上看成立,销售量预测,价格差x1=其它厂家价格x3-本公司价格x4,估计x3,调整x4,控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650

15、万元,销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）,上限用作库存管理的目标值,下限用来把握公司的现金流,若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上,(百万支),模型改进,x1和x2对y的影响独立, x3=x1.*x2； z=ones(size(x1);x1;x2;x2.2;x3; z1=z.; b,bint,r,rint,stats = regress(Y,z1,0.05),MATLAB 7.1中编程实现,两模型销售量预测比较,(百万支),区间 7.8230，8.7636,区间 7.8953，8.7592,(百万

16、支),控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元,预测区间长度更短,略有增加,x2=6.5,x1=0.2,x1,x1,x2,x2,两模型 与x1,x2关系的比较, y=17.3244+1.3070*x1-3.6956*6.5+0.3486*6.52; plot(x1,y),title(图3 模型（3）y与x1的关系),grid on y=29.1133+11.1342*x1-7.6080*6.5+0.6712*6.52 -1.4777*x1*6.5; plot(x1,y),title(图4 模型（5）y与x1的关系),grid on y=17.3244+1.3070*0.2-3.6

17、956*x2+0.3486*x2.2; xi=linspace(5,8,100); p=0.3486,-3.6956,17.3244+1.3070*0.2; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi),title(图5 模型（3）y与x2的关系),grid on y=29.1133+11.1342*0.2-7.6080*x2+0.6712*x2.2 -1.4777*x2*0.2; p=0.6712,-1.4777*0.2-7.6080,29.1133+11.1342*0.2; xi=linspace(5,8,100); yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi),title(图6 模型（5）y与x2的关系),grid on,MATLAB 7.1中编程实现,交互作用影响的讨论,价格差 x1=0.1,价格差 x1=0.3,加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元）,价格差较小时增加的速率更大,x2, y=30.2267-7.7558*x2+0.6712*x2.2; xi=linspace(5,8,100); p=0.6712,-7.7558,30.2267; yi