几何与代数课件：lec14-向量组的线性相关性

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,问题式预习及思考题,1. 线性相关和线性无关的充要条件分别有哪些？,2. 证明一组向量线性无关的常用方法有哪些？,3. 线性相关和线性无关还有哪些性质？,思考题,请证明满足“各行和=各列和”的魔方集合也构成一个向量空间，再列举出它的几个子空间，即把和相等的限制再增强一些。,能否将魔方“和相等”的限制再增强吗？,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,(1) 10维魔方空间U：R=C,令H为主对角线和，N为付对角线和(类似于行列式的对角线法则),R=C=H=N,(4) 泛对角方的向量空间B:,和为46.,魔方

2、空间的子空间,(2) 8维魔方空间Q：R=C=D,(3) Drer魔方空间D：R=C=D=S,能否将魔方“和相等”的限制再增强吗？,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,(1) 10维魔方空间U：R=C,R=C=H=N,(4) 泛对角方的向量空间B:,魔方空间的子空间,(2) 8维魔方空间Q：R=C=D,(3) Drer魔方空间D：R=C=D=S,(5) 要求所有数都相等:,向量空间G = rI,rR， 其中I是一个全1的矩阵.,(6) 特别的，要求所有数都为0：,向量空间 O,O, G, B, D,魔方空间,维 数,0, 1, 5, 7, Q, U, 8, 10,零向量可被任意一

3、组向量线性表示,例3,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,都有零解,与,的共同点：,的不同点：,(1)只有零解，,(2)还有非零解, r(e1, e2, e3)=3，, r(1, 2, 3)3，,零向量可被任意一组向量线性表示,例3,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,与,(1)只有零解，,(2)有非零解,线性相关.,存在一组不全为零的数 y1, y2, y3, 使得,只有在 x1 = x2 = x3= 0 时才成立., r(e1, e2, e3)=3，, r(1

4、, 2, 3)3，, 能由向量组 I:1,s唯一的线性表示, r(A)=r(A,) = s, Ax = 有唯一解.,向量组的线性表示与线性相关的联系, 能由向量组 I:1,s不唯一的线性表示, r(A)=r(A,) s, Ax = 有无穷多解., 能由向量组 I:1,s唯一的线性表示, Ax = 只有零解, 能由向量组 I:1,s不唯一的线性表示, Ax = 有非零解, r(A) s,1,s线性相关, r(A) = s,1,s线性无关,4.2 向量组的线性相关性,向量组1,s-1,s线性相关, 存在一组不全为零的数x1, x2, , xs, 使得 x11+x22+xs-1s-1+ xss=,一

5、. 线性相关与线性无关,第四章 n维向量,4.2 线性组的线性相关性,(ARns),=向量个数, 能由向量组 I:1,s不唯一的线性表示, (1,s) x = Ax = 有非零解, r(A) s,(linearly dependent 则,例5. 判断下列命题是否正确：,错。只有零解，而不是有零解。,错。如：,对。,时有,同理,任意,错。两组的组合系数不一定相同。,错。 不一定是哪一个向量可由其余向量线性表示。,例6. 判断下列命题是否正确：,(4) 若向量组 线性相关且s2，则s可由 线性表示.,(5) 若向量组 线性相关， 线性相 关， 则有不全为0的数 使 且,解：（4）是正确的。,其中 不全为0.,作业、问题式预习及思考题,1. 什么是向量组的极大无关组和秩？,2. 向量组等价关系下的不变量和最简形是什么？,3. 向量组的秩有哪些性质？,二. (A) 1(2,3) 2(1,2,3) (B) 6,7,8,10,1