计算方法电子教案：总复习

1、第二章 非线性方程的数值解法,常用方法 1 二分法 2 一般迭代法 3 牛顿迭代法 4 弦截法,根的隔离；误差估计；迭代收敛阶,2 一般迭代法,(1)迭代法,(1) 把（1）等价变换为如下形式,(2) 建立迭代格式,(3) 适当选取初始值x 0 ，递推计算出所需的解。,定理2.2 （非局部收敛定理）如果 在 上连续可微且以下条件满足：,命题2.2 若在区间 内 ，则对任何 ，迭代格式 不收敛。,推论 设 x*= g(x*) ， 若 g(x) 在 x* 附近连续可微且 ，则迭代格式 xk+1= g(xk) 在 x* 附近局部收敛。,(2)迭代法的收敛性,简单地代之以,(3) 迭代法的误差估计,3

2、 牛顿迭代法,其迭代函数为,4 弦截法,第三章 线性代数方程组的数值解法,解线性方程组的消去法 解线性方程组的矩阵分解法 3 解线性方程组的迭代法,给定一个线性方程组,求解向量 x。,(1)高斯消去法,1.解线性方程组的消去法,1）消元过程： 对k=1,2, , n 依次计算,2) 回代过程：,这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法,(2)高斯-若当（Jordan）消去法,高斯-若当（Jordan）消去法 一般公式：,推论 若系数矩阵严格对角占优，即有,(3) 选主元素的消去法,主元素的选取通常采用两种方法： 一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。,2 解线性方程组的矩阵分

3、解法,一、 非对称矩阵的三角分解法,解两个三角形方程组。,矩阵的Crout分解的计算公式,(3-12),注：,3.3.3 对称正定矩阵的三角分解,定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 且对任何n 维向量 成立 ，则称 A 为对称正定矩阵。,定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则 (1) A的k阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D 使得 （3-16） 这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。 (3)有且仅有一个下三角矩阵 ，使 （3-17） 这称为分解矩阵的平方根法。,3 解线性方程组的迭代法,迭代法思想: (1)Ax=b ( 3-1),(2)建立迭代格式,这称

4、为一阶定常迭代格式，M 称为迭代矩阵。,约化便得,从而可建立迭代格式,对 （3-23）,以分量表示即,(1)、Jacob迭代法,则雅可比迭代格式（3-24）可用矩阵表示为,用矩阵表示为,对雅可比迭代格式修改得,(2) Gauss-Seidel迭代法,例3.10 分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解 线性方程组,解,相应的迭代公式为,雅可比迭代,高斯-塞德尔迭代,令 取四位小数迭代计算,由雅可比迭代得,由高斯-塞德尔迭代得,定理 3.5 若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵 满足条件,则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。,迭代法的收敛性,定理 3.8 一阶定常迭代格式 对任何初始向量均

5、收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1，即,这里 为 M 的特征值,第四章 函数的插值与拟合法,1 插值多项式的构造 2 最小二乘法,定义 4.1 设 y= f(x) 在区间a,b上连续，在a,b内n+1个互不 相同的点 上取值 .求一代数多项式P(x) ，使 得,则称P(x)为f(x)的插值函数,1 插值多项式,定理 4.1 在 n+1 个互异点 上满足插值条 件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式 存在且惟一。,两种插值多项式形式,(1) 拉格朗日插值多项式,下列列表函数的多项式Ln(x),线性插值(n=1)，,抛物插值 (n=2),(2)牛顿均差插值多项式,Ln(x)和N(x)插值多项式的余项,例：已知列表函数,并计算f(0.5)的计算值。,解：,(1)由数据表,构造均差表,又解：,