计算方法电子教案：第五章 插值型数值微分与数值积分

1、第五章 插值型数值微分与数值积分,5.1 插值型数值微分公式 5.2 插值型数值积分,5.1 插值型数值微分公式,当 x 为插值节点 时，上式简化为,故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。,一般地,这类公式称为插值型数值微分公式。,5.1.1 常用的数值微分公式,给定两点上的函数值,这称为两点公式。,若给定三点上的函数值 则由,这称为三点公式，其中（54b）又称为中点公式。,进一步由 可得计算公式,5.1.2 数值微分公式的误差分析,两点公式的截断误差为,这里,(5-6),三点公式的截断误差为,(5-7),这里,例 5.1 为计算 在 x=2 处的一阶

2、导数值，我们可选用中点公式,当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。,而精确值为 ，可见当 h=0.1时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。,为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f (x) 四阶连续可微，故得,从而得到误差估计式,5.2 插值型数值积分,插值型数值积分的思想是： 若已知 则利用拉格朗日插值多项式建立近似计算公式,这里,称为插值型求积公式， 称为求积节点，,称为求积系数，其和,5.2.1 牛顿柯特斯公式,则 ，N-C求积公式表示为,特别地,这称为梯形公式；,这称为Simpson公式；,这称为Cotes公式。,对应于 情形的Cotes系数见表5-2

3、(书106页)。,5.2.2 复合求积公式,求积公式的稳定性分析：,复合求积的方法：,当取 m=1 时，称为复合梯形公式，简记为Tn,当取 m=2 时，称为复合Simpson公式，简记为Sn,当取 m=4 时，称为复合Cotes公式，简记为Cn(公式见书107页）,例 5.2 试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分,解,5.2.3 插值型求积公式的误差分析与步长减半算法,记 为采用插值型求积公式进行积分近似的截断误差，则由多项式插值公式的误差估计式（5-1）得,因此，当 f(x) 为次数不超过 n 次的多项式时，插值型求积公式精确成立，

4、由此引出“代数精度”的概念。,定义 5.1（代数精度） 若近似于定积分的数值积分公式当且仅当 f(x) 为次数不高于 n 次的代数多项式时恒等于定积分 I , 则称该数值积分公式的代数精度为 m（次）。,由定义知，插值型求积公式的代数精度至少为n 。,定理 5.1 设 In 为由 N-C 公式（5-10）计算生成，则当 n 为奇数时，In 的代数精度为 n ；当 n 为偶数时， In 的代数精度为n+1，且当 在区间 a, b 上连续时，我们有如下误差估计式,特别地，,从而可得,为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，下面介绍其思想。,由,得,所以,因此，可先用 计算出T1，并把

5、步长减半算出T2 ，若 则T2 即为所求的近似值，否则再把步长减半，算出T4， 根据式 (5-18a) 进行事后误差估计 ， 如此递推计算，直到某个n 满足 为止 ，取 为所求的近似值，这就是梯形公式的步长逐次减半算法。,类似地，可对 Simpson 公式和 Cotes 公式分别利用（5-18b）和（5-18c）进行事后误差估计，建立步长逐次减半的算法。,为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。,这里 对应于新的步长， 对应于新分点。,因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：,例 5.3 试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分 使误差小于 。,解,一般的计算结果见表5-4 (书112页)。,5.2.4 龙贝格积分法,这说明收敛较快的 Simpson 步长减半序列 可由梯形公式的步长减半序列 构造生成。,类似地，,(5-20c)称为龙贝格（Romberg）积分公式。按以上方法可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法龙贝格积分法（书114页）。,例 5.4 试用龙贝格积分法求解例5.3的定积分 使误差小于,用龙贝格积分法求解得到表5-5（书116页）。 由于 ，故取,与例5.3比较可见，对于该积分采用梯形公式的步长逐次减半算法计算所需乘除工作量为 ， 并需计算 个