弹性力学1.ppt

1、1,例题2,例题3,第四章例题,例题4,例题5,例题6,例题7,例题9,例题10,例题8,例题,例题1 （习题4-8）试考察应力函数 能解决图中所示弹性体的何种受力问题？,y,x,a,a,0,第四章例题,解：本题应按逆解法求解。,首先校核相容方程， 是满足的。 然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：,第四章例题,再求出边界上的面力：,读者可由此画出边界上的面力分布。,第四章例题,半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数 求解应力分量。,例题2（习题4-9）,第四章例题,解：首先检验 ，已满足 。由 求应力，代入应力公式得,第四章例题,再考察边界条件。注意本题有两个 面,即 ，分别为 面

2、。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有,代入公式，得应力解答，,第四章例题,设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。,第四章例题,例题3（习题4-18）,（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与 有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即 ，应力只能以 形式组合。,解：应用半逆解法求解。,第四章例题,（2） 应比应力的长度量纲高二次幂，可假设 。,删去因子 ，得一个关于 的常微分方程。令其解为 ，代入上式，可得到一个关于 的特征方程，,第四章例题,（3）将 代入相容方程，得,其解为 于是得 的四个解 ；前两项又可以组合为正弦、

3、余弦函数。由此得 本题中结构对称于 的 轴，而 是反对称荷载，因此，应力应反对称于 轴，为 的奇函数，从而得,第四章例题,（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶 作用，应分别考察大边界上的条件和 原点附近的条件。 在 的边界上，有,第四章例题,（4）由 求得应力分量，,为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心， 为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，,前一式自然满足，而第二式成为,第四章例题,(a),上式中前两式自然满足，而第三式成为,再由式（a）得出 代入应力公式，得最后的应力解答，,第四章例题,(b),设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解

4、，,第四章例题,例题4（习题4-19）,x,y,0,F,（1）经校核，上述 满足相容方程。,解：,（2）代入应力公式，得,第四章例题,（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为 的脱离体，列出其三个平衡条件：,第四章例题,将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出,第四章例题,(a),（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。,第四章例题,由物理方程求出应变分量，,第四章例题,代入几何方程，得,由前两式积分，得,第四章

5、例题,将 代入第三式，并分开变量，得,第四章例题,为了使上式在区域内任意的 都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，,由式（b）解出,第四章例题,(b),将式（c）对 求导一次，再求出,再将上式的 代入 ，得,显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须,第四章例题,(d),(e),将式（a）代入上式，得,将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：,第四章例题,试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。,第四章例题,例题5,解： 由书中式（4-21），当 时，,用直角

6、坐标系的应力分量表示，,第四章例题,第四章例题,以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，,再代入几何方程，分别积分求出位移分量：,第四章例题,两边对 积分，得,得,由几何方程第一式，,由几何方程第二式，,第四章例题,再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，,分开变量后，两边分别为 的函数，各应等于同一常数G，即,两边对 积分，得,第四章例题,于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为,对式（c）的后一式再求一次导数，,得,第四章例题,将 和 代入 的表达式；并由式（c）得,第四章例题,得解 为,代入后，得出位移的解答如下，,第四章例题,由反对称条件，当 时，,而另两个刚体位移分量H和

7、K，因未有约束条件不能求出。 代入，得最后的位移解，,第四章例题,水平位移是,在半平面体的左半表面，铅直沉陷是,取B点 为参考点，则M点 的相对水平位移 是,第四章例题,圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。,第四章例题,例题6,解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。 （a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，,第四章例题,（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出,（c）对于圆周上的点M，分别作用 且 ，并有,显然，在圆周上有,第四章例题,因此，圆盘在对径受压时，其应力

8、解是 (a),(b),(c)三部分解答之和。,两者合成为圆周上的法向分布压力 为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力 其对应的应力分量为,第四章例题,由于,最大压应力发生在圆盘的中心，,得到CD线上的应力分量,第四章例题,现在来计算水平直径CD线上的 值。对于N点，设 则有,读者试求出CD线和AB线上的水平正应力 值，并证明在中心线AB上， 为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。,第四章例题,图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。,第四章例题,例题7,解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以

9、引用轴对称应力解：,在主要边界 上，边界条件是,由于 ，后两式自然满足，而其余两式为,在两端部，或者任一截面 上，有边界条件,第四章例题,上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式,得到,第四章例题,注意式 (c)实际上是式(a)和(b) 的组合。由式 (a)、(b)、(d) 解出,第四章例题,其中,曲杆中的应力分量为,第四章例题,例题8 图示的三角形悬臂梁，在上边界 受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数,求出其应力分量。,第四章例题,解：应力函数 应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数,第四章例题,得出的应力解答是,第四章例题,在截面 mn 上，正应力和切应力为,第四章例题,例题9 图中所示的半平面体，在 的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标 表示的应力函数,进行求解，试求其应力分量。,第四章例题,解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。,第四章例题,本题的应力分量用极坐标表示的解答为,第四章例题,图中所示的半平面体，在 的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标 表示的 应力函数,进行求解，试求其应力分量。