一阶倒立摆项目报告

1、一阶倒立摆项目报告 13级自动化卓越班 小组成员：李迎迎 李艳艳 张婧娴 徐 山 姚红娟目录一、系统概述11.1系统介绍11.2项目内容11.3系统分析步骤1二、数学建模2.1受力分析22.2方框图23、 根轨迹分析3.1 设计控制器73.2根轨迹图104、 频域分析4.1校正后传递函数114.2校正前后波特图12五、PID控制5.1系统加入PID135.2自动调节PID参数135.3加入PID后的阶跃响应135.4加入PID后的脉冲响应13六、结论和分析一、系统概述1.1系统介绍： 如下图1所示为一由小车、摆杆、电机、皮带构成的直线一级倒立摆系统，在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立

2、摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统。1.2项目内容： 图2是系统中小车和摆杆的受力分析图，请以向右的加速度为输入，摆杆角度为输出，建立此系统的数学模型。试分析系统的稳定性、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的要求如下：%10% ,求此时各动态性能指标，单位脉冲信号下的稳态误差；利用频率特性设计控制器G c (s) ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50，增益裕量等于或大于10 分贝。 图1 图2 实际系统的模型参数如下：M 小车质量 1.096Kgm 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI摆杆惯量 0.0034

3、Kg*m*m1.3系统分析步骤：1、数学建模（确定传递函数）2、时域分析（由于倒立摆是不稳定系统，通过MATLAB分析稳定性无意义）3、根轨迹（观察根轨迹图像，加入零极点让系统趋于稳定） 4 、频域分析 二、数学建模 2.1系统受力分析： 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统 抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。我们做了以下假设： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 系统中小车和摆杆的受力分析图如下：

4、 其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。【注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。】分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： 即： 把这个等式代入式中，就得到系统的第一个运动方程 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下： 注意：此方程中力矩的方向，由于= +,cos= -cos,sin= -sin，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： 设=+ （是摆杆与垂直向

5、上方向之间的夹角），假设与 1（单位是弧度）相比很小，即 num=0.02725;den=0. 0 -0.26705;G=tf(num,den)z,p,K=tf2zp(num,den)sys=zpk(z,p,K) %原系统零极点表达式subplot(3,2,1),rlocus(sys); %绘制原系统根轨迹t=0:0.005:10;subplot(3,2,2),step(sys,t) %绘制原系统阶跃相应曲线OverStep=0.1; %设置超调量AdjustTime=0.5; %设置调整时间zeta1=abs(sqrt(log(OverStep)2)/(pi2+(log(OverStep)2

6、) %计算满足设计要求的阻尼比sita1=acos(zeta1) wn=4/(zeta1*AdjustTime) %计算满足要求的自然振荡角频率P=wn*(-cos(sita1)+i*sin(sita1),wn*(-cos(sita1)-i*sin(sita1) %期望闭环主导极点用复数表示zeroc=real(P(1)-imag(P(1)*tan(gama+sita1-pi/2) %校正环节零点polec=real(P(1)-imag(P(1)*tan(gama+sita1-pi/2+fai) %校正环节极点zg=z;zeroc %校正环节零极点加入原系统中pg=p;polecsys2=zp

7、k(zg,pg,Kc*K) %校正后系统开环传递函数subplot(3,2,3),rlocus(sys2); %绘制加入校正环节后系统根轨迹T=feedback(sys2,1); %校正后系统闭环传递函数subplot(3,2,4);step(T,t) %校正后系统阶跃相应 Transfer function: 0.02725-0.01021 s2 - 0.2671 Empty matrix: 0-by-1p =5.1136 -5.1136K = 2.6683Zero/pole/gain: 2.6683-(s-5.114) (s+5.114) zeta1 =0.5912sita1 =0.938

8、3wn =13.5328P =-8.0000 +10.9150i -8.0000 -10.9150izeroc =-6.9222polec =-26.4567zg =-6.9222pg =5.1136 -5.1136 -26.4567Zero/pole/gain:141.1365 (s+6.922)-(s+26.46)Zero/pole/gain: 376.5944 (s+6.922)-(s-5.114) (s+5.114) (s+26.46)3.2根轨迹图 原系统开环传递函数根轨迹图 原系统阶跃相应曲线 加入校正环节后系统根轨迹 校正后系统阶跃相应曲线四. 频域分析4.1校正后传递函数 利用频率特性设计控制器G c (s) ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50，增益裕量等于或大于10分贝. 超前校正的一般形式：根据误差要求得校正前系统传递函数为令50+5=55 得由10lg得 =55.08校正装置传递函数为 10.1校正后系统的传递函数为4.2校正前后波特图 校正前系统的波特图 校正后系统的波特图 5. PID控制5.1系统加入PID：5.2自动调节PID参数5.3加入PID后的阶跃响应5.4加入PID后的脉冲响应6.