三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

1、一道昆明市统测解三角形题目的思考题目：2015年10月昆明市统测文科：在ABC中，D是BC的中点，若AB=4，AC=1，BAC=60，则AD=_；理科：在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；常规解法及题根：（15年新课标2理科）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD是ADC面积的2倍。()求;() 若=1，=求和的长.（15年新课标2文科）ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（I）求 ；（II）若,求.重点结论：角平分线性质：（1） 平分角（2） 到角两边距离相等（3） 线段成比率中点性质与结论：（1） 平分线段；（

2、2） 向量结论；（3） 两个小三角形面积相等。题目解法搜集：解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：在ABC中，则BC=；因为AD平分BAC，则，所以BD=，DC=；在ABD中，设AD=x，利用cosBAD=cos30=即，解得x=。若在ADC中，设AC=m，则,解得x=。解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解。解法2（余弦定理灵活使用）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在ABC中，D在BC上，AD平分B

3、AC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：在ABC中，则BC=；因为AD平分BAC，则，所以BD=，DC=；（三边求角）在ABC中，cosB=；在ABD中，=；所以AD=。解法评价：突出余弦定理两大运用，两边及夹角，利用余弦定理求第三边和三边求角，训练同一个角在不同三角形中求解。解法3（坐标法）：在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：把ABC放到坐标系，A放到坐标原点，AC在X轴上，则C（1,0），B（，），其中；所以，所以解法评价：在听课好几次听到老师讲坐标法，当然这题坐标作用不大，不多想到把图形摆正之后，解题思路和角平分

4、线到角两边距离就可以使用。解法（面积法）在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：，由正弦定理的面积公式可得：得，秒解解法评价：解法学习于昆明数学教师群，相当快速高效。制作此资料希望能够和广大同行分享交流更多数学解题技巧和方法。惊呆我了，后面这种面积法 ，以后大家有什么得意的速算方法分享下，尽力整理起来留份资料。解法5 （向量法）在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：由得BD：DC=3:1，所以，则，则。解法评价：此法属于通法，中线和角平分线有类似结论，可以解决一类题型，而且计算中直接使用公

5、式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法。方法六（构造法）：在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：过B做AC的平行线交AD的延长线于点E，则ABD为等腰三角形，在等腰ABD中，AB=EB=3，E=BAD=30，解得，,所以，得。解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几何证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线定理证明的基本思路就和此做法比较相似，此法对于角平分线的题目另辟新径。解法7（正三角形法）在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：构造正三角形ABE，过A作BE平行线交BC延长线于。为了使用：1：2，；所以AH=BG=,所以AD=。解法评价：此法特别巧妙，尚不知道怎么想到的，好像利用正三角形解题是一种解法，本人对初中几何证明不熟悉了，不知道能不能扩展为通法，求高手解答。解法8（构造等腰三角形）在ABC中，D在BC上，AD平分BAC，若AB=3，AC=1，BAC=60，则AD=_；解：过C做AD平行线交BA延长线于点E。在等腰ACE中（角平分线加平行线必出等腰），AE=AC=1,EAC=120，所以CE=。，AD=。解法评价：平行线和角平分线还是比较般配的，常常出现等腰三角形，