高三数学教案直线与圆

1、专题 11直线与圆 高考在考什么【考题回放】1已知两条直线y=ax -2 和 y= (a+2)x+1 互相垂直，则a 等于（ d ）a 2b 1c 0d 12如果实数x、 y 满足条件x y 1 0, y 1 0, x y 1 0那么 2x-y 的最大值为（b ）a 2b 1c 2d 33圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y- 14=0的最大距离与最小距离的差是（c）a 36b 18c 6 2d 5 24若直线 ykx2 与圆 (x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，则k的取值范围是. k (0， 4)35若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线y3 x(

2、x 0) 相切，则这个圆 (x 1)23) 23的方程为( y16.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和 50，可能的最大亏损率分别为30和 10 . 投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元 . 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【专家解答 】设投资人分别用 x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目 .xy10,0.3x 0.1y 1.8,由题意知0,目标函数 z=x+0.5y.xy0.上述不等式组表示的平面区域如

3、图所示，阴影部分（含边界）即可行域 .作直线 l 0 : x0.5y 0 ，并作平行于直线l 0 的一组直线 x0.5yz, zr,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的m 点，且与直线x0.5 y0 的距离最大，这里 m 点是直线 xy10 和 0.3x0.1y1.8 的交点 .xy10,得 x=4， y=6此时 z1 4 0.567 （万元） .解方程组0.1y0.3x1.8,7 0当 x=4， y=6 时 z 取得最大值 .答：投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.第1页共8页 高考要考什么【考点透视】1 理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公

4、式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。4了解线性规划的意义，并会简单的应用。5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。【热点透析】直线与圆在高考中主要考查三类问题：一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：（ 1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；（ 2）直线的平行和垂直的条件；（ 3）与距离有关的问题等。此类题大都属于

5、中、低档题，以选择题和填空题形式出现；二、直线与圆的位置关系综合性试题， 此类题难度较大， 一般以解答题形式出现；三、线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大 突破重难点【范例 1】已知 p 是直线 3x+4y+8=0 上的动点， pa、 pb 是圆 x2y2 2x 2y 1 0 的两条切线， a、b 是切点， c 是圆心，求四边形 pacb 面积的最小值 .解法一：点p 在直线 3x+4 y+8=0 上 . 如图 1.设 p（x，234x）， c 点坐标为（ 1， 1），s 四边形 pacb 2spac |ap| |ac| |ap| |ac| |ap| |ap|2 |pc|2 |ac

6、|2 |pc|2 1当 |pc|最小时， |ap|最小，四边形pacb 的面积最小图 1 |pc|2（ 1 x） 2（ 1 2 3x） 2 25 x25 x 10( 5 x 1)2941624 |pc|min 3四边形 pacb 面积的最小值为2 2 解法二： 由法一知需求 |pc|最小值，即求 c 到直线 3x+4y+8=0 的距离， c（ 1，1），| 3 48| |pc|=3， spacd =2 2 .5【点晴】 求角、距离、面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性，寻找快捷简便的方法。本题的关键在于s 四边形 pacb 2spac ，然而转化为|pc|的最值问题。【文】 已知等腰

7、abc 的底边 ab 所在的直线方程为3x y 2 0 ，顶点 c 的坐标是（ 2， 2），顶角为 1200，求两腰所在的直线方程及abc 的面积 .解：设腰所在直线的斜率为k， 顶角为1200 ， 两底角为 300 ，第2页共8页又 k ab3， k3tan 3001 ，k3，13k33故一腰所在直线方程为y232）即 x3y2 3 2 0，（ x3另一腰垂直于x 轴，方程为 x2 .s abc = 33【范例 2】过点 m(2,4) 作两条互相垂直的直线，分别交x、y 的正半轴于 a、 b，若四边形 oamb 的面积被直线 ab 平分，求直线ab 方程。解：设 ab 的方程为 xy1 （

8、a0,b0）ab a(a,0) 、 b(0,b) 。 ma mb (a 2) (2) ( 4)(b4)0a 102b a0 0b0）为两定点，动点p 到 a 点的距离与到 b点的距离的比为定值a（ a0），求 p 点的轨迹 .| pa |(xc)解：设动点p 的坐标为 p（ x， y），由=a（ a0）得c)| pb |(x2 y2=a，2 y2化简得（ 1 a2） x2+2c（ 1+a2 ）x+c2（ 1 a2） +（1 a2） y2=0.当 a1时，得2c(1a 2 )1a2c) 22acx2+a 2x+c2+y2=0. 整理得 ( x21+y2=(2)21aa1当 a=1 时，化简得 x

9、=0.a212ac所以当 a1时， p 点的轨迹是以（c， 0）为圆心， |为半径的圆；当 a=1 时， p 点的轨迹为 y 轴 .a21a21【点睛 】本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力 .【范例 4】已知动圆过定点p（1， 0），且与定直线 l： x= 1 相切，点 c 在 l 上 .（）求动圆圆心的轨迹m 的方程；（）设过点p，且斜率为3 的直线与曲线m 相交于 a、 b 两点 .（ i ）问： abc 能否为正三角形？若能，求点c 的坐标；若不能，说明理由；（ ii ）当 abc 为钝角三角形时，求这种点c 的纵坐标的取值范围 .（）法 1依题

10、意，曲线m 是以点 p 为焦点，直线 l 为准线的抛物线，所以曲线 m的方程为 y2=4x.法 2 设 m（x， y），依题意有 |mp |=|mn |，所以 |x+1|=(x1)2y 2 .化简得： y2=4x.第4页共8页（）（ i）由题意得，直线 ab 的方程为 y=3 （ x 1） .由 y3( x 1), 消 y 得 3x2 10x+3=0 ，2y4x.解得 x1=， x2=3.3所以 a 点坐标为（ 1,2 3 ），33b 点坐标为（3， 23 ），1216图 7 12|ab|=x +x +2=.3假设存在点c（ 1， y），使 abc 为正三角形，则 |bc|=|ab|且 |ac

11、|=|ab|，(3 1) 2( y 2 3)2(16)2 ,3即(11)2( y2 )2(16)2 .333由得42+（ y+23 ） 2=（4 ） 2+（ y23 ） 2，33解得 y= 143.但 y=143 不符合，99所以由，组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点 c，使得 abc 是正三角形 .（ ii ）法 1：设 c（ 1， y）使 abc 成钝角三角形，由y3(x1),x1.得 y=23 ，即当点 c（ 1， 23 ）时， a、 b、c 三点共线，故 y23 .2122322843y2又 |ac| =（ 13） +（ y） =+y ，39316 ）2 =256|bc|2=（

12、 3+1） 2+（ y+23 ） 2=28+43 y+y2， |ab |2=（.39当 cab 为钝角时， cosa= | ab |2| ac |2| bc |2|ac|2+|ab |2，即 2843yy 22843 y y2256，2939即 y3 时， cab 为钝角 .9第5页共8页当 |ac|2|bc|2+|ab|2，即 284 3 yy2284 3yy 2256，即 y|ac|2+|bc|2，即 2562843 yy 22843yy 2 ，993即 y 24 3 y40, ( y2 ) 20 .333该不等式无解，所以acb 不可能为钝角 .因此，当 abc 为钝角三角形时，点 c

13、的纵坐标 y 的取值范围是y10 3 或y2 3 ( y 2 3) .39528法 2：以 ab 为直径的圆的方程为（x） 2+（ y+3 ） 2=（） 2.3833圆心（ 5 ,23 ）到直线 l： x= 1 的距离为，333所以，以 ab 为直径的圆与直线 l 相切于点 g（ 1， 23 ）.3当直线 l 上的 c 点与 g 重合时， acb 为直角，当 c 与 g 点不重合，且a、 b、 c三点不共线时，acb 为锐角，即 abc 中， acb 不可能是钝角 .因此，要使 abc 为钝角三角形，只可能是cab 或 cba 为钝角 .过点 a 且与 ab 垂直的直线方程为y233 ( x1

14、) .令 x=1 得 y=2 3.3339过点 b 且与 ab 垂直的直线方程为y+233得 y=103( x3).令 x=133 .又由y3( x1),3 ，x1.解得 y=2所以，当点c 的坐标为（1， 23 ）时， a、b、 c 三点共线，不构成三角形 .因此，当 abc 为钝角三角形时，点 c 的纵坐标 y 的取值范围是y 2 3 （ y2 3 ） .39【点晴】 该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”题.目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力 .比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、 方程的思

15、想 .该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.第6页共8页【文】 设圆满足：截y 轴所得弦长为2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；圆心到直线l ： x-2y=0 的距离为5 。求该圆的方程。5解：设圆的圆心为 p(a， b)，半径为 r，则点 p 到 x 轴， y 轴距离分别为 |b|， |a|由题设知圆 p 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为900，知圆 p 截 x 轴所得的弦长为2r ，故 r2=2 b2又圆 p 截 y 轴所得的弦长为2，所以有 r2 =a2 +1 从而得 2b2-a2=1又点 p(a，b) 到

16、直线 x-2y=0 的距离为5 ，所以 d| a 2b |5 ,555即有 a-2b= 1，由此有2b2a21,2b2a 21,a2b 1;a 2b1.a1,a1,于是 r2 =2b2 知 r2.解方程组得1;b1.b所求圆的方程是(x-1) 2+(y-1)2=2 或 (x+1) 2+( y+1) 2=2 自我提升1将直线 l 沿 x 轴正方向平移两个单位， 再沿 y 轴负方向平移 3 个单位， 又回到了原来的位置，则 l 的斜率为（ b ）3b322a 2cd2332 若 op(1,2) ， op(2,1) ，且 op ,op分别是直线l 1： ax+ (b-a)y-a=0，1212a ）l

17、 ： ax+4by+b =0 的方向向量，则a， b 的值分别可以是（2a 2，1b 1， 2c -1， 2d -2，13经济学中的 “蛛网理论 ”（如图） ，假定某种商品的 “需求 价格 ”函数的图象为直线 l1, “供给 价格 ”函数的图象为直线l2，它们的斜率分别为k1、k2，l1 与 l2 的交点 p 为 “供给 需求 ”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的 “蛛网 ”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点p，与直线 l 1、 l2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点p 的条件为 ( a )价格价格价格l 1l1l1pp

18、pl2l 2l2ooo需求 /供给量需求 /供给量需求 /供给量图 1图 2图 3a k1+k20bk1+k2=0c k1+k20d k1+k2可取任意实数4过点 p（1， 2）作一直线，使此直线与点m（ 2， 3）和点 n（ 4， 5）的距离相等，则此直线方程为 _4x+y -6=0 或 3x+2y-7=05已知直线 axby c 0 与圆 o： x2 y2 1 相交于 a 、 b 两点，且 |ab| 3 ，第7页共8页则 oa ob.126关于曲线 c：x2+y4=1 的下列说法：(1)关于点 (0,0)对称； (2) 关于直线 x 轴对称；(3) 关于直线 y=x对称； (4)是封闭图形，面积小于；(5) 是封闭图形，面积大于；(6)不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是 _ (1)(2)(4)7.曲线 x2 +y2+x-6y+3=0 上两点 p、 q 满足：关于直线kx-y+4=0 对称； opoq.求直线 pq 的方程 .解：由圆上两点p、q 关于直线 kx-y+4=0 对称知直线 kx-y+4=0 经过圆心1，3）（2即有 k（ 1 ） 3 40， k2，