高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式精品学案新人教B版必修

1、名校名 推荐2.1.1数轴上的基本公式 学习目标 1. 通过对数轴的复习, 理解实数和数轴上点的对应关系, 理解数轴上的向量和相等的向量的含义, 理解向量的长度和向量的坐标之间的关系.2. 探索并掌握数轴上两点间距离公式 . 预习导引 1. 数轴上点的坐标(1) 定义：一条给出了原点、 度量单位和正方向的直线叫做数轴 , 或者说在这条直线上建立了直线坐标系 .(2) 在数轴上 , 根据点 p 与实数 x 的对应法则 , 在实数集和数轴上的点集之间建立了一一对应关系 , 如果点 p 与实数 x 对应 , 则称点 p的坐标为 x, 记作 p( x).2. 向量(1) 定义：如果数轴上的任意一点 a

2、 沿着轴的正向或负向移动到另一点 b, 则说点在轴上作了一次位移 , 点不动则说点作了零位移 , 位移是一个既有大小又有方向的量 , 通常叫做位移向量 ,本书简称向量 .(2)向量的长度： 从点 a 到点 b 的向量 , 记作 ab,点 a 叫做向量 ab的起点 , 点 b 叫做向量 ab的终点, 线段 ab的长叫做向量 ab的长度 , 记作 | ab|.(3)相等向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等向量.(4)向量向量的坐标： 在数轴上向量 ab的长度连同表示方向的符号称作向量ab的坐标或数量 ,ab的坐标用ab表示 .(5) 起点和终点重合的向量是零向量, 它没有确定的方向 , 它的坐标为

3、 0, 其长度为零 .(6) 位移的和：在数轴上 , 如果点 a 作一次位移到点 b, 接着由点 b 再作一次位移到点 c, 则位移ac叫做位移 ab与位移 bc的和 , 记作 ac ab bc.由于向量可用数量表示, 因此 , 位移的和可简单地由数量和表示.3. 数轴上的基本公式(1) 数轴上任意三点间的关系对于数轴上任意三点a, b, c, 都具有关系ac ab bc.(2) 数轴上两点的距离数轴上任一向量的坐标1名校名 推荐数轴上任一向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.数轴上两点的距离设 a( x1), b( x2) 为数轴上任意两点, 用 d( a, b) 表示 a, b两点间的距离,

4、 则 d( a, b) | ab| | x2 x1|.要点一数轴上的点与实数的关系例 1(1) 若点 p( x) 位于点 m( 2), n(3) 之间 , 求 x 的取值范围；(2) 试确定点 a( a) 、b( b) 的位置关系 .解 (1) 由题意可知 , 点 m( 2) 位于点 n(3) 的左侧 , 且点 p( x) 位于点 m( 2), n(3) 之间 , 所以2 x 3.(2) 确定两点的位置关系 ,需要讨论实数a, b 的大小关系；当a b时 , 点 a( a) 位于点 b( b) 的右侧；当时 ,点 () 位于点() 的左侧；当ab时, 点 () 与点 () 重合 .a ba a

5、b ba ab b规律方法数轴上的点与实数之间是一一对应的关系, 所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置 , 显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.跟踪演练1下列各组点中 , 点位于点n左侧的是 ()ma. m( 2), n( 3)b. m(2),n( 3)c.m(0), n(6)d. m(0),n( 6)答案c解析a 中, 2 3, 点 m( 2) 位于点 n( 3) 右侧； b 中,2 3, 点 m(2) 位于点 n( 3) 的右侧； c 中,0 6, 点 m(0)位于点 n(6)的左侧； d中 ,0 6, 点 m(0) 位于点 n( 6) 的右侧 .要点二数轴上向量的坐标运算例 2已知有

6、理数a 在数轴上对应点a, 将点 a 沿数轴向左平移3 个单位长度得点b 后 , 再向右平移 2个单位长度得到点, 点c对应的数是 1.5,问：有理数a是多少？向量 、向量cabcb的坐标分别是多少？解先逆向分析变化过程：点 c( 1.5)左移 2个单位 右移 3个单位a( a). b 点b和点a的坐标分别为( 3.5)和 ( 0.5),ba a 0.5,ab 3.5 ( 0.5) 3,cb 3.5 ( 1.5) 2. 即向量 ab, cb的坐标分别为3, 2.2名校名 推荐规律方法本题属于点的平移问题, 解题时先标出平移过程, 根据数轴上点的坐标与实数的对应关系写出点的坐标 , 再利用向量坐

7、标的定义写出向量的坐标.跟踪演练 2例 2 的条件不变 , 若将问题改为：若将点c再向右平移2 个单位长度得到点d,问向量 cd和向量 bc有什么关系？解 由题意知 , 点d的坐标为(0.5),又点 , 点c的坐标分别为 ( 3.5),( 1.5), dbbccd0.5 ( 1.5) 2, bc 1.5 ( 3.5) 2,cd bc,向量 cd和向量 bc相等 .要点三数轴上两点的距离例 3已知 m、 n、 p是数轴上三点, 若 | mn| 5,| np| 2, 求 d( m, p).解 m、 n、 p 是数轴上三点 ,| mn| 5,| np| 2,(1) 当点 p 在点 m, n之间时 (

8、 如图所示 )d( m, p) | mn| | np| 5 23；(2) 当点 p在点 m、 n之外时 ( 如图所示 )d( m, p) | mn| | np| 5 27.综上所述： d( m, p) 3 或 d( m, p) 7.规律方法1. 解答本类问题时, 如果两点的相对位置不确定, 一定要注意分类讨论.2. 要明确向量的长度及数量的区别与联系, 注意 | ab| d( a, b) | xb xa|, ab xbxa.跟踪演练3已知数轴x 上的点 a, b, c的坐标分别为1,3,5.(1) 求 ab、ba、 | ab| 、 bc、 | ac| ；(2) 若 x 轴上还有两点 e、 f,

9、 且 ae 8, cf 4, 求点 e、 f 的坐标 .解 (1) ab 3 ( 1) 4； ba ab 4；| ab| |3 ( 1)| 4； bc5 3 2；| ac| |5 ( 1)| 6.(2) 设 e、 f 点的坐标分别为 xe、xf,因为 ae 8, 所以 xe ( 1) 8, 有 xe 7；因为 cf 4, 所以 xf5 4, 有 xf 1.故 e, f 两点坐标分别为7,1.3名校名 推荐1. 数轴上 a, b 两点的坐标分别为x1, x2, 则下列式子中不正确的是 ()a.| |x1x2|b.| 2x1abbaxc.ab x x1d. ba x x221答案b2. 在数轴上从

10、点( 2) 引一线段到(3),再延长同样的长度到, 则点c的坐标为 ()abca.13b.0c.8d. 2答案c3. a、 b 为数轴上的两点 , a 点的坐标是 1, ab6, 那么点 b的坐标为 ()a.5b. 7c.5 或 7d. 5 或 7答案a4. 已知数轴上两点a( a), b(5.5),并且 d( a, b) 7.5,则 a_；若 ab7.5, 则 a_.答案 2 或 1325. 、 、 、d是数轴上的任意四点, 则 _.abcab bc cd da答案01. 向量的有关概念及表示：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标 ( 数量 ) 这几个概念 , 它们分别用 ab、| ab| 、ab来表示；两个向量相等 , 必须长度和方向都相同； 零向量是起点和终点重合的向量 , 它的长度为0, 方向不确定 .2. 向量的有关运算公式：数轴上向量加法的运算法则是对于数轴上任意三点 a, b, c都具有 ac ab bc( 或 ac ab ). 数轴上的向量坐标公式21(