高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量精品学案苏教版选修2

1、名校名 推荐32.1直线的方向向量与平面的法向量 学习目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2. 会用待定系数法求平面的法向量知识点一直线的方向向量直线 l 上的向量 e( e0) 以及与 e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量知识点二平面的法向量如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作 ，此时，我们把向量n叫做平面 的法向量n思考1平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案相互平行2一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答案不惟一，它们相互平行，但不一定相等题型一直线的方向向量及其应用例 1设直线 l1的方向向量为

2、a (1,2 ，2) ，直线 l的方向向量为b ( 2,3 ，m) ，若 l l，212则 m _.答案2解析由题意，得 ab，所以 ab (1,2， 2) ( 2,3 ， m) 2 6 2m 4 2m0，所以 m 2.反思与感悟若 l l，则 l1与 l2的方向向量垂直；若 l l ，则 l1与 l2的方向向量平行1212跟踪训练 1若直线 l 1， l 2 的方向向量分别是 a (1 ， 3， 1) ， b (8,2,2) ，则 l 1 与 l 2的位置关系是 _答案垂直解析因为 ab (1 ， 3， 1) (8,2,2) 8 6 2 0，所以 ab，从而 l 1l 2.题型二求平面的法向

3、量例 2如图所示，在四棱锥s abcd中，底面是直角梯形，abc190， sa底面 abcd，且 sa ab bc 1，ad2，建立适当的空间1名校名 推荐直角坐标系，求平面 scd与平面sba的一个法向量解如图，以a为原点，以 ， ， 分别为x，z轴的正方向adab asy建立空间直角坐标系，1则 a(0,0,0) ， d( 2，0,0) ，(1,1,0)， (0,0,1)，cs则 (1， 1,0) ，dc21ds ( 2， 0,1) 易知向量 (1， 0,0) 是平面的一个法向量ad2sab设 n ( x， y， z) 为平面 sdc的法向量，11ndc 2xy 0，y 2x，则 1即 1

4、n 0，z.ds2xz2x取 x 2，则 y 1， z 1，平面的一个法向量为 (2 ， 1,1)sdc反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：(1) 求平面 abc的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如 ac， ab；(2) 设平面的法向量为n (x， ，) ；y zn 0，(3) 联立方程组ac并求解；n ab 0，(4) 所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时， 设定一个坐标为常数 ( 常数不能为 0) 便可得到平面的一个法向量跟踪训练 2已知 a(1,0,1) ，b(0,1,1) ， c(1,1,0)，求平面 abc的一个法向量解设平面abc的法向量为 n( x， y， z)

5、， 1) 由题意知 ab ( 1,1,0)， bc(1,0nab x y 0，n ab， nbc， n0，bc xz解得xy，令 x 1，则 y z1.xz.2名校名 推荐平面 abc的一个法向量为n(1,1,1)题型三证明平面的法向量例 3在正方体 abcda cd 中， e， f 分别是 bb，cd的中点11111求证： d1f是平面 ade的法向量证明 如图，以 d为坐标原点， da，dc，dd1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则(0,0,0)，1，(1,0,0)，11d(0,0,1)(1,1 ， ) ， (0 ， ， 0) ，daef221所以 ad

6、( 1,0,0)，df (0 ，2， 1) ，1 (0,1，1) ，ae21所以 ad d1f( 1,0,0)(0 ，2， 1) 0， 11ae d1f (0,1， 2) (0 ， 2， 1) 0，所以 ad df，ae df，又 ad ae a，11，所以 1 平面dfadeade的法向量从而 d1f是平面反思与感悟用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直跟踪训练3已知正方体abcda cd 的棱长为1，在 bc、 dd上是否存在点e、 f，使 b e是111111平面 abf的法向量？若存在，证明你的结论，

7、并求出点e、 f 满足的条件；若不存在，请说明理由解建立如图所示的空间直角坐标系，则 a(1,0,1)，b(1,1,1)，b1 (1,1,0)，设 f(0,0 ，h) ， e( m,1,1) ，则ab (0,1,0)， b1e( m 1,0,1)， fa(1,0,1 h) ab b1e 0， abb1e. 若 b1e是平面 abf的法向量，则 b1efa m 1 1 h mh 0，h m. 即 e、 f 满足 d1f ce时， b1e是平面 abf的法向量3名校名 推荐故存在，且e、 f 满足 d1f ce.利用向量法判断直线与平面平行例 4已知 u 是平面 的一个法向量， a 是直线 l 的

8、一个方向向量， 若 u(3,1,2)，a( 2,2,2)，则 l 与 的位置关系是_错解因为 u a(3,1,2)( 2,2,2) 3( 2) 1222 0，所以 u a，所以 l .错因分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别实际上， 本例中由向量u a 可得 l ? 或 l .正解因为 u a ( 3,1,2) ( 2,2,2) 3( 2) 1222 0.所以 u a，所以 l ? 或 l .答案l ? 或 l 1已知 a (2,4,5)，b (3 ，x，y) 分别是直线 l 1、l 2 的方向向量 若 l 1l 2，则 x _，y _.答案6152解析由l1245x

9、152 得， ，解得 6， .l3xyy22在正方体 1 1 1 1 的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面1 1abcd a b cda b cd的法向量的是 _ 答案ad或cb或 da或bc11113若 a (1,2,3)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是_(0,1,2)(3,6,9)( 1， 2,3)(3,6,8)答案解析向量 (1,2,3)与向量 (3,6,9)共线14若直线 l ，且 l 的方向向量为 (2 ，m,1) ，平面 的法向量为 (1 ，2) ，则 m _.24名校名 推荐答案 81解析 l ，平面 的法向量为 (1 ，2， 2) ， (

10、2 ， m,1) (1 ， 1， 2) 0. 212 2m 20. m 8.5在直三棱柱abc a1b1c1 中，以下向量可以作为平面abc法向量的是 _( 填序号 )ab； aa1； b1b； a1c1.答案解析 aa1平面 abc， b1b平面 abc，aa1与 b1b可以作为平面abc的法向量1. 直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线若有直线l ，点 a 为直线上的点，向量 a 是 l 的方向l 上任意一点 p，一定存在实数向量，在直线 l 上取 ab a，则对于直线t ，使 ap tab，这样，点 a 和向量 a 不仅可以确定直线 l的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点2平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用