高二数学教案：7.2直线的方程(三)

1、课题：7.2 直线的方程（三）教学目的：1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程 .2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,培养学生综合运用知识解决问题的能力.3.对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.教学重点：直线方程的一般式和特殊式之间的互化.教学难点：运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论.授课类型：新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析：本课时讲解直线方程的一般式，着重于直线方程一般

2、式的概念建立以及一般式与特殊式之间的互化。 若学生基础不好或时间宽裕的话，建议运用一个机动课时，上一节直线方程的习题课王新敞众所周知，“数学教学就是数学活动的教学” ，也就是说，应在教学中充分安排观察、回忆、讨论、尝试和发言，使之参与到数学知识的实验、发现过程中去，体验知识的形成过程。本着这个原则， 结合教学内容， 本节教学采用引导探究式的教学方法为主， 并根据不同的内容调整教法。 如公式的推导采用教师引导， 学生自主探究的方法；例题采用教师精讲，学生精练，教师适时点拨的方法；巩固性训练采用自测练习，教师讲评的方法；综合应用采用分组讨论、交流、汇报，教师点评的方法等王新敞教学过程：一、复习引入

3、：1. 直 线 的 点 斜 式 方 程 - 已 知 直 线 l 经 过 点 p1 (x1, y1 ) ， 且 斜 率 为 k ， 直 线 的方 程 ：y y1k( x x1 ) 为直线方程的点斜式 .直线的斜率 k0 时，直线方程为yy1 ；当直线的斜率 k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1 .2直线的斜截式方程已知直线l 经过点p（ 0,b），并且它的斜率为k，直线 l 的方程：y kx b 为斜截式 .斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.斜截式 ykxb 在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当k 0 时，斜截式方程才是一次函数的表达

4、式 .斜截式 ykxb 中， k ， b 的几何意义 王新敞3. 直线方程的两点式当 x1x2 ， y1 y2 时，经过 a( x1 , y1 ) b（ x2 , y2 ) 的直线的两点式方程可以写成：第 1页共 7页yy1xx1y2y1x2x1 .倾斜角是 00或 90 0的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为00或 900的直线，两点式应变为 ( yy1 )( x2x1 )( xx1 )( y2y1 ) 的形式 .4直线方程的截距式定义： 直线与 x 轴交于一点 （ a ,0）定义 a 为直线在 x 轴上的截距； 直线与 y 轴交于一点 （ 0,b ）定义 b 为直线在 y 轴上的截

5、距 .xy1过 a( a ,0)b(0, b ) （ a , b 均不为 0）的直线方程 ab叫做直线方程的截距式 . a , b表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.当截距为零时，不能用截距式 .直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式p1 ( x1 , y1 ), k斜截式k，b( x1 , y1 )两点式（ x2 , y2 )截距式a,byy1k( xx1 ) k存在ykxbk存在yy1xx1x1x2, y1 y2y2y1x2x1xy1a0,b0ab问题 1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？答：直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点， 但都有局限性

6、， 即无法表示平面内的任一条直线 .问题 2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？二、讲解新课：5. 直线方程的一般形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程均可化成axby c 0 (其中 a、b、 c 是常数， a、 b 不全为 0)的形式，叫做直线方程的一般式王新敞探究 1：方程 ax byc 0 总表示直线吗？根据斜率存在不存在的分类标准，即b 等于不等于 0 来进行分类讨论：yaca若 bxb ，它是直线方程的斜截式，表示斜率为b ，截距为0 方程可化为b第 2页共 7页cb 的直线；若 b=0，方程 ax byc0 变成 axc0 .由于 a、 b 不全

7、为 0，所以 a0 ，则方程cx变为a ，表示垂直于x 轴的直线，即斜率不存在的直线 .结论：当 a、b 不全为0 时，方程 axbyc 0 表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线 .探究 2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程都可以表示成axbyc0 (a、b 不全为 0)的形式吗？可采用多媒体动画演示，产生直线与y 轴的不同位置关系 (旋转 )，从而直观、形象地揭示分类讨论的本质， 得出“任何一条直线的方程都是关于x, y 的二元一次方程， 任何关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线”的结论王新敞三、讲解范例：例 1 (2001 年全国 )设 a、b 是 x 轴上的两点，点p

8、的横坐标为 2，且 pa pb，若直线 pa 的方程为 x y10 ，则直线 pb的方程是a. 2 x y 4 0b. 2x y 1 0 2c. x y 5 0d. 2x y7 0解法一：由 x y 10 得 a（ 1， 0） .又 pa pb知点 p 为 ab 中垂线上的点，故b(5，0)，且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，故所求直线的斜率为1，所以选 c.解法二： y 0 代入 xy 1 0 得 a(1， 0).x2由xy10 解得 p（ 2， 3） .设 b（ xp ,0），由 pa pb解得 xp 5.y0x5由两点式3025整理得 pb 直线方程：xy50 ，

9、故选 c 王新敞第 3页共 7页例 2 (1997 年全国 )已知过原点 o 的一条直线与函数ylog 8 x 的图像交于 a、 b 两点，分别过点 a、 b 作 y 轴的平行线与函数的ylog 2 x 的图像交于 c、 d 两点( )证明点 c、 d 和原点 o 在同一条直线上；( )当 bc平行于 x 轴时，求点 a 的坐标解： ( )设点 a、b 的横坐标分别为x1、 x2 由题设知， x1 1， x2 1则点 a、 b 纵坐标分别为 log 8x1 、 log 8x2 log 8 x1log 8x2因为 a、 b 在过点 o 的直线上，所以，x1x2点 c、d 坐标分别为（ x1 ，

10、log 2 x1 )，（ x2 ， log 2x2 )log 8 x2log 8 x2由于 log 2 x1 = log 8 2 3 log 8x1 ， log 2 x2 = log 8 2 =3 log 8 x2log 2x13log 8 x1k1x1oc的斜率x1，log 2x23log 8 x2k2x2od 的斜率x2由此可知， k1k2 ，即 o、 c、 d 在同一条直线上( )由于 bc平行于 x 轴知log 2 x1=log 8 x2，y1x2 ， x23y=log 2xd即得log 2 x1 = 3 log2x1 cy=log 8x代入x2log 8 x1=x1 log 8 x2

11、abox得 x13 log 8 x1 =3 x1 log 8 x1 由于x11知log 8 x1 0，x13=3x1考虑 x11解得 x1 =3 于是点 a 的坐标为 (3 ， log 83 ) 王新敞四、课堂练习：课本 p 3 练习1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：1(1)斜率是 2 ，经过点a（， 2）；第 4页共 7页(2)经过点 b(， 2），平行于x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32 ,3 ；(4)经过两点 p1 （ 3， 2）、 p2 （ 5，） .1解： (1)由点斜式得y （ 2） 2 （ x )化成一般式得x 2 y 0(2)由斜截式得y 2，

12、化成一般式得 y 20xy1332 x y 30(3)由截距式得 2，化成一般式得y2x3(4)由两点式得4( 2)53 ，化成一般式得x y 1 02.已知直线axbyc0(1)当 b 0 时，斜率是多少?当 b 0 时呢 ?(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?ya xcka答： (1)当 b 0 时，方程可化为斜截式：bb斜率b .xc当 b 0 时， a 0 时，方程化为a 与 x 轴垂直，所以斜率不存在 .(2)若方程表示通过原点的直线，则(0， 0)符合直线方程，则c 0.所以 c 0 时，方程表示通过原点的直线 .3.求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形：xy(

13、1)3 x y 5 0； (2) 45 1； (3)x 2 y 0；（） 7 x 6 y 0； (5)2 y 7 0.解： (1) k 3，在 y 轴上截距为 555(2)化成斜截式得 y 4 x 5 k 4， b 5.第 5页共 7页11(3)化成斜截式得y 2x k 2， b 0.7272yxk, b.(4)化成斜截式得 636377(5)化成斜截式得y 2 ， k 0， b 2 .图形（略） 王新敞五、小结：通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：axby c0 （ a、 b 不全为 0）；点(x0, y0 )在直线axbyc0上ax0 by0 c0 王新敞六

14、、课后作业：45.一条直线和 y 轴相交于点 p(0，2），它的倾斜角的正弦值是5 ，求这条直线的方程 .这样的直线有几条 ?解：设所求直线的倾斜角为，414)234(， tan 3则 sin 5 ， cos5 54由点斜式得：y 2 3x 王新敞44所求直线有两条，方程分别为：y 3x 2， y 3 x 2.9.菱形的两条对角线长分别等于8和 6，并且分别位于 x 轴和 y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.解：设菱形的四个顶点为a、 b、 c、 d，如右图所示 .根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点a、 b、 c、 d 在坐标轴上，且a、 c 关于原点对称， b、d 也关于原点对称 .

15、xy所以 a(， 0)， c（， 0）， b（0 ，3）， d（ 0， 3）由截距式得：43 1，即 3x y 12 0 这是直线ab 的方程；xy由截距式得43 1 即 3 x y 12 0 这是直线 bc 的方程；第 6页共 7页由截距式得由截距式得xy4 3 1 王新敞 即 3 x y12 0 这是直线 ad 的方程；x y43 1 即 3 x y 12 0，这是直线cd 的方程 .10.求过点 p（ 2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0 时符合题意，此时直线方程为3 x 2 y 0xy若截距不为 0，则设直线方程为aa 123将点 p（ 2， 3）代入得 aa 1，解得 a5xy直线方程为 55 1，即 x y 5 王新敞11.直线方程 ax by c0 的系数 a、 b、c 满足什么关系时，这条直线有以下性