高二数学教案：7.4简单的线性规划(一)

1、课题： 7.4 简单的线性规划（一）教学目的：1使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题王新敞4培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力 王新敞5 结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新王新敞教学重点： 二元一次不等式表示平面区域 .教学难点： 把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.授课类型： 新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞

2、内容分析 ：“ 简单的线性规划” 是在学生学习了直线方程的基础上， 介绍直线方程的一个简单应用，这是新大纲 对数学知识应用的重视 . 线性规划是利用数学为工具， 来研究一定的人、 财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益 . 它是数学规划中理论较完整、 方法较成熟、 应用较广泛的一个分支， 并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题 . 中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、 应用性，同时也渗透了化归、 数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法. 通过这部分内容

3、的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力王新敞依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次王新敞本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材王新敞本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学” 的意识以及解决实际问题的能力王新敞本小节的重点是二元一次

4、不等式表示平面区域， 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答 .解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化王新敞教材处理：用直线方程的一个简单应用， 教科书首先通过一个具体问题， 介绍了二元一次不等式表示平面区域 .再通过一个具体的实例，介绍了线性规划问题及有关的几个基本概念及其一种基本解法图解法，并利用几道例题说明线性规划在实际中的应用.根据新大纲和新教材，本小结分为三个课时进行教学：第一课时讲解二元一次不等式表示平面区域；第二课时讲解线性规

5、划的有关概念和图解法；第三课时讲解线性规划在实际问题的应用 .考虑到本节内容概念较多且广泛深入实际问题， 建议动用一个机动课时， 再讲解并巩固线性规划在实际问题中的应用，这样对学生提高解决实际问题的能力将是十分有益的王新敞第 1页共 5页教法分析：（一）教学方法为了激发学生学习的主体意识， 面向全体学生， 使学生在获取知识的同时， 各方面的能力得到进一步培养 .根据本节课的内容特点，依据“情意” 、“序进”、“活动”、“反馈”等四条让学生绝大多数学生都有效学习的教学途径.本节课的采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质的形成王新敞（二）教学手段

6、新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、 突破难点， 增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课宜采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式（组）所表示平面区域以及图形的动态变化情况王新敞教学过程 ：一、复习引入：通过前几节的学习， 我们知道， 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x y 10 的解为坐标的点的集合 ( x, y ) xy 1 0 是经过点（ 0，1）和（ 1，0）的一条直线l ，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1 的不等式） 的解为坐标的点

7、的集合 （ x, y ) xy10 是什么图形呢？二、讲解新课：在平面直角坐标系中，所有的点被直线xy10 分成三类：（ 1）在直线 xy10上；（ 2）在直线 xy10的左下方的平面区域内；（ 3）在直线 xy10的右上方的平面区域内 .即：对于任意一个点 （ x, y ），把它的坐标代入xy 1 ，可得到一个实数， 或等于 0，或大于 0，或小于 0.若 x+y-1=0，则点 ( x, y )在直线 l上 .我们猜想：对直线 l 右上方的点 ( x, y )， xy10 成立；对直线 l 左下方的点（ x, y )， x y 1 0 成立 .我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.不妨，

8、在直线 x y 1 =0 上任取一点 p（ x0, y0 )，过点 p 作平行于 x 轴的直线 y=y0,在此直线上点 p 右侧的任意一点（ x, y ），都有x x0 ， y = y0 ,所以， x +y x0 + y0 ， xy1 x0 + y0 -1=0,即 x y 1 0.第 2页共 5页再过点 p 作平行于 y 轴的直线 x=x0，在此直线上点p 上侧的任意一点（x, y )，都有 x =x0 ,y y0 .所以， x +y x0 + y 0 ， xy 1 x0 + y0 -1=0,即 x y 1 0.因为点 p（ x0 , y0 )是直线 x y1 =0 上的任意点，所以对于直线

9、xy1 =0 右上方的任意点 ( x, y )， xy 1 0都成立 .同理，对于直线xy1 =0左下方的任意点y（ x, y ）， x y 1(x,y)0 都成立 .f(x0,y0 )(x,y)如图所示：1所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式01xxy1 0 的 解 为 坐 标 的 点 的 集 合 （ x, y ) x y 10是在直线 x y 1=0 右上方的平面区域王新敞如图所示：那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等 式 xy1 0 的 解 为 坐 标 的 点 的 集 合( x, y )xy 1 0 是在直线 x y 1 =0 左下方的平面区域 .总之，二元一次不等式ax+by

10、+c0 在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0 某一侧所有点组成的平面区域 .（虚线表示区域不包括边界直线）.由于对在直线ax+by+c=0 同一侧的所有点( x, y )，把它的坐标（x, y )代入 ax+by+c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 ax0 +by0+c 的正负即可判断 ax+by+c 0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当c 0 时，常把 原点作为此特殊点）王新敞三、讲解范例：例 1 画出不等式2 x +y-6 0 表示的平面区域 .解：先画直线 2x +y-6=0（画成虚线） .取原点（ 0， 0），代入 2 x +

11、y-6, 2 0+0-6=-6 0,原点在 2 x +y-6 0 表示的平面区域内，不等式2 x +y-60 表示的区域如图：xy50例 2 画出不等式组xy0表示的平面区域.yx3x+y=0a(3,8)第 3页共 5页556x=3b(- ,2)2x-y+5=003xc(3,-3)分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分王新敞解：不等式 x -y+5 0 表示直线 x -y+5=0 上及右下方的点的集合， x +y 0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合， x 3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合 .不等式组表示平面

12、区域即为图示的三角形区域:四、课堂练习：1画出不等式x +2y 4 0 表示的平面区域.解：先画直线 x +2y 4=0( 画成虚线 ) ，取原点 (0， 0) ，代入 x 2y4，因为 0 2 0 40，所以， 原点在 x +2y 4 0 表示的平面区域内， 不等式 x 2y 4 0 表示的区域如图所示 .xy6 0xy02画出不等式组表示的平面区域王新敞y3x5选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法 王新敞解：不等式 x +y 6 0 表示在直线 x +y 6=0 上及右上方的点的集合， x y0 表示在直线 x y=0 上及右下方的点的集合， y 3 表示在直线 y=3 上及其下方的

13、点的集合， x 5 表示直线 x =5 左方的点的集合，所以xy60xy0不等式组表示的平面区域如图所示y 3 x 5y6x+y-6=0c3ay=3b056xx-y=0x=5说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实王新敞3.已知直线 l 的方程为 ax+by+c =0， m1（ x1， y1）、 m2(x2,y2)为直线 l 异侧的任意两点，m1、m3(x ,y)为直线l同侧的任意两点，求证：33(1)ax +by+c 与 ax +by+c 异号；1122(2)ax1+by1+c 与 ax3+by3+c 同号 .证明： (1)因 m1、 m2 在 l 异侧，故 l 必交线段 m1m2 于点 m0.设 m0 分 m1 2 所成的比为 ，则分点 m0 的坐标为x0 x1x2 ，y0 y1y2 代入 l 的方程得11a( x1x2) b（ y1y2 ） c 0，11从而得 ax1 by1 c （ax2 by2c） 0.解出 ，得ax1by1c=王新敞ax2by 2c第 4页共 5页 m0 为 m12 的内分点，故 0. ax1by1 c 与 ax2 by2c 异号 .(2) m3、1 在 l 同侧，而 m1、 m2 在 l 异侧，故 m3 、m 2 在 l 异侧，利用 (1) 得 ax3by3 c 与