理解幂级数的概念和性质,掌握泰勒级数展开方法教学重点：

1、教学目的：理解幂级数的概念和性质， 掌握泰勒级数展开方法 教学重点：幂级数性质，函数展开成 泰勒级数 教学难点：一般级数求和,第四讲 幂级数,主视图,函数项级数,给定一个无穷函数列,un(x)称为级数的一般项或通项,称为级数的部分和函数数列,有极限称级数 在x=x0收敛,否则,称级数在x=x0发散,称为 un(x)的函数项级数 ,简称为un(x)的级数,全部收敛点的集合称为级数的收敛域,称为级数的和函数,回主视图,形如,称为幂级数的系数,称为x的幂级数,幂级数,回主视图,令,则,收敛半径,的x是变量,故可以视为任意项级数来判定,考察,(1)若,则,则,发散,绝对收敛,令,(2)若,(3)若,称

2、R为幂级数的收敛半径,解收敛半径,收敛区间为(1，1) ,当 时，,所以该级数的收敛域为 .,解 收敛半径,收敛域为,例题,所以该级数的收敛域为 .,解收敛半径,，因为,，收敛,从而原级数的收敛域为 .,例题,解幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数(9-13)的标准形 式，因此不能直接用公式(9-14)求收敛半径，这时可以根据 比值审敛法求其收敛半径：,当 时，,所给级数绝对收敛；,当,时，所给级数发散,则幂级数的收敛半径,例题,回主视图,两收敛的幂级数在公共的收敛区间,幂级数的加法,幂级数在收敛区间内可以逐项求导，求导后所得幂级数的收 敛半径不变，其和函数为原级数的和函数的导数,微分运算,幂级

3、数在收敛区间内可以逐项积分，积分后所得幂级数的 收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数在相应区间上 的积分,积分运算,解设和函数为,，即,两端求导，并注意到,可得,上式两端从 0 到 x 积分，得,例题,上式中令x = 1，得,，则,解设和函数为,上式两端从 0 到 x 积分，得,由于,又当,，,收敛，所以,例题,在 的某,若函数,邻域内具有直到,阶导数,泰勒级数,如果,在点,数，则 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是,对一切,成立我们把n阶泰勒公式写成,因此条件是必要的,充分性 设,则有,证明,因此条件是充分的,回主视图,麦克劳林级数,回主视图, 直接展开法,并求出收敛半径R,，,第

4、二步 写出幂级数,导数不存在，就停止进行,函数展开,如果极限不为0，则上面第二步求得的幂级数不收敛于 .,对于任何有限的数 ，,于是得级数,，余项的绝对值为,例题,时，,于是得展开式,于是得级数,对于任何有限的数 ,，余项的绝对值当,时的极限为零：,解 因,例题,因此得展开式,用同样的方法可以推出牛顿二项展开式：,这里m为任意实数当m为正整数时，就是中学所学的二项 式定理,第一讲 初等函数,回主视图,用直接方法将函数展开成幂级数，往往比较麻烦，因为 首先要求出函数的高阶导数，除了一些简单函数外，一般函 数的 n 阶导数的表达式很难求得其次要考察余项 Rn(x) 是 否趋于零，这也不是件容易的事由于函数的幂级数展开式 是唯一的，我们可以利用已知函数的展开式及幂级数的运算， 将所给函数展开成幂级数，这种间接展开的方法往往比较 简单, 间接展开法,间接展开,两端求导，得,例题,解因为,以上展开式对 x = 1 也成立，这是因为上式右端的幂级数当 x = 1时收敛，而,的和函数：,所以