充分发挥直观想象让解题更具韵味

1、充分发挥“直观想象”让解题更具韵味江苏省姜堰中学 张圣官“直观想象”指的是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础 在数学解题中充分发挥直观想象，可以让解题过程具体、生动、形象，更具韵味 1利用图形变换，让解题过程更形象英国心理学家查得斯根普认为，几何图形是一种视觉符号，与表象的形成密切相关因此，图

2、形以及图形的加工、变换能力在培养与发展空间想象能力的过程中起了关键作用图形的变换一般有三种类型：（1）图形的运动与变式；（2）图形的分解与组合；（3）平面图形与空间图形的对比、类比与转换例1 如图1，在四面体SABC中，SAB=SCB=ABC，SBC=SAC=ACB，SBA=SCA=BAC，求证：SA=BC，SB=AC，SC=AB图2图1【分析】本题用常规方法非常困难现将四面体SABC沿SA、SB、SC剪开后展到平面ABC上得S1S2S3（如图2）由条件知，S2AB=ABC=BCS3，从而S2ABC，S3CAB同理，S1ABC这样就有S1、A、S2共线且A为S1S2的中点，同样可得B、C分别为

3、S2S3，S3S1的中点所以结论成立，即SA=BC，SB=AC，SC=AB例2 （）给出两块相同的正三角形纸片（如图），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图中，并作简要说明；（）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小EFAD图3图4【分析】（）如图3，为简化运算，设计正三棱锥为正四面体，设所给正三角形边长为，则由得，其正四面体棱长为，故沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥如图4，为方便体积大小比较，设计正三棱柱的底面边长也为，由于其全面积为，故在正三角形三个角上剪出与四边

4、形ADEF相同的三个四边形，其中AD=AF=a，DE=DF，ADE=AFE=900，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成正三棱柱的上底（）由上可知，正三棱锥与正三棱柱底面边长均为2a，S底=，下面求它们的高 ； 【点评】这道“操作型”问题很有新意，它具有开放性，所得结论随解题方法的不同而不同，较好地考查了学生的空间想象能力、动手操作能力、探究能力和逻辑推理能力例3 已知：在四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=，BD=AC=，试求此四面体的体积ABCDxyz图5【分析】本题中四面体ABCD的四个表面面积均可求，但高的位置不易确定，直接求体积有

5、一定困难注意到四面体ABCD的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题【解】将四面体ABCD“嵌入”到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有 ，即四面体ABCD的体积为20ABSCMN图6例4 如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且MNAM，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 【分析】由条件中的MNAM，可以推得又由正三棱锥S-ABC中对棱互相垂直，得所以SB平面SAC，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角将该三棱锥补成正方体，使S成为正方体的一个顶点，则正三棱锥S-ABC的外接球也即是正方体的外接

6、球，根据得，R=3，所以正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为 2利用以形助数，让解题过程更丰富数学是研究客观世界空间形式和数量关系的一门科学有些数学问题，在代数范畴内也可以解决但是如果加入几何因素，将“数”与“形”有机结合起来，往往能够使解法更多样，让解题过程更丰富华罗庚教授对此很准确地进行了论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微”例5 直角坐标系中，已知A（4，3），试在x轴正半轴上求一点P，使取得最大【分析】要在x轴正半轴上求一点P，使取得最大，可以从代数的角度来处理，设，则，接着可以考虑将放到分母中转化为关于的二次函数通过配方，或者也可以利用导数来处理，但运算较为繁琐其实注意到本题中“A

7、为定点”，利用正弦定理可得以下简解【解】在三角形OAP中，根据正弦定理得，由于为定值，问题转化为求最大值显然的最大值为1，此时为直角，易得P点坐标为【点评】本题中的构造思想非常关键将显性和隐性的关系设法转化到一个三角形中，从而实现优解例6 坐标平面上一点P到点A（,0）,B(,2)及到直线的距离都相等如果这样的点P恰好只有一个，那么实数的值是 【分析】平面上到点A（,0）及到直线的距离相等的点的轨迹是抛物线本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A（,0）,B(,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB的垂直平分线与抛物线相切，一是线段AB的垂直平分线与抛物线的对称轴平行可得结果实数的值为或

8、3利用图形构造，让解题过程更流畅进行抽象问题形象化训练，培养几何直觉能力将抽象问题形象化的几何直觉能力是空间想象能力的最高层次，是空间观念、意识、想象力在处理数学问题时的迁移和运用因此几何直觉能力的训练与培养应贯穿于整个高中数学教学过程中在数学学习中，几何的视觉化、形象化的能力不仅有助于促进数学知识的理解、记忆和提取，而且有助于提出数学问题，解决数学问题人们常把几何形象化、直观化看作培养创新能力的基础例7 解方程：【分析】本题若采用移项、平方，则解起来繁杂冗长将方程变形为，把常数“3”暂看作变数，则由双曲线定义知，这个方程表示以F1（1，0）、F2（1，0）为焦点，实半轴长为的双曲线4x2y2=1的右支只要令y2=3，就可得【点评】静止是相对的，运动是绝对的有的数学问题，在静态下虽然可得结果，但往往较繁、较难，如善于变静态为动态，往往会收到奇妙的效果例8 已知：均为正实数，求证：图7【分析】待证不等式形式很可憎思考一下其中是否隐含了几何因素？有的！从点出发作，截取，