全国卷历年高考立体几何真题归类分析

1、全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案）类型一：直建系条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（）小问的证明就可以用向量法，第（）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。1.（2014年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.()证明:PB平面AEC；()设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积. 2.（

2、2015年全国卷）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.()证明:平面AEC平面AFC；()求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.（2015年全国卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；()求直线AF与平面所成角的正弦值. 4.（2016年全国卷）如图，四棱锥中，底面面，为线段上一点，为的中点

3、（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值. 5.（2017全国卷）如图所示，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， 是的中点.（1）求证：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成的锐角为，求二面角的余弦值. 类型二：证建系（1）条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（）问证明的条件。第（）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。6.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行

4、四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD.()证明：PABD； ()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. 7.（2012年全国卷）如图，直三棱柱中，是棱的中点，.（）证明：；（）求二面角的大小. 8.（2013年全国卷）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB.（）证明：BC1/平面A1CD， （）求二面角D-A1C-E的正弦值 类型三：证建系（2）条件中没有线面垂直条件，底面垂直关系直接给出或容易得出。这类题关键在于第（）小问线面垂直的证明，常见有面面垂直条件推出。3，5，9，10，129.（2013年全国卷）如图，三棱

5、柱中，.（）证明；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 10.（2014年全国卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.（） 证明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值. 11.（2016年全国卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角DAFE与二面角CBEF都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值 12.（2016年全国卷）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面； （）求二面角的正弦值 13.（2017全国卷）如图所示，在

6、四棱锥中，且.(1)求证：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值. 14.（2017全国卷）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）求证：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值自我总结：向量法另外难点在于运算策略问题，即这样快速、准确的计算出结果，请参看我的向量法解立体几何的运算策略新课标全国卷历年高考例题几何真题1.【解析】(1) 连接BD交AC于点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EGPB,且EG在平面AEC上，所以PB平面AEC.(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(,0,0

7、),E,C(,m,0).所以=(,0,0), =,=.设平面ADE的法向量为=(x1,y1,z1),则=0, =0,解得一个=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为=(x2,y2,z2),则=0, =0,解得一个=(m,- ,-m).因为cos=|cos|=,解得m=.设F为AD的中点,则PAEF,且PA=,EF面ACD,即为三棱锥E-ACD的高.所以VE-ACD=SACDEF=.所以,三棱锥E-ACD的体积为.2.【解析】(1)连结BD,设BDAC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120,可得AG=GC=.由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC

8、.又AEEC,所以EG=,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=,故DF=.在RtFDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.,又ACFG=G,可得EG平面AFC.又因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得,，所以,. 故.所以直线与直线所成角的余弦值为3.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形

9、,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则,.所以可取，又，故.所以与平面所成的角的正弦值.4.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.5解析 （1）令的中点为，联结，如图所示因为点，为，的中点，所以为的中位线，所以又因为，所以又因为，所以，于是从而四边形为平行四边形，所以又因为，所以平面.（2）以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直

10、角坐标系设，则，点在底面上的投影为，所以，联结因为，所以为等腰直角三角形因为为直角三角形，所以设，所以从而所以，设平面的法向量，则，所以，易知平面的一个法向量为，从而故二面角的余弦值为6.解：（）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴射线DB为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-，则,.设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则 ,即 因此可取= 设平面PBC的法向量为，则可取=（0，-1，）， 故二面角A

11、-PB-C的余弦值为 .7.证明（）（1）在中，得：，同理：，得：又平面.（）（2）平面 取的中点，过点作于点，连接， ，C1OA1D 面 得：点与点重合 ， 即是二面角的平面角 设，则， 即二面角的大小为.8.（1）连接，交于点F，连结，则F为的中点，因为D为AB的中点，所以DF/，又因为，所以.(2)由AA，可设：AB2a,则所以，又因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图.则C（0,0,0）、，设平面的法向量为则且可解得令得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以所以二面角的正弦值为59.解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结A

12、O，侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，且O为BC1和B1C的中点，又ABB1C，B1C平面ABO，AO平面ABO，B1CAO，又B1O=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且O为B1C的中点，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB1=60，CBB1为正三角形，又AB=BC，A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）=（0，），=（1，0，），=（1，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可

13、取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，），cos，=，二面角AA1B1C1的余弦值为10.【解析】（）取的中点，连结，.因为，所以.由于，故为等边三角形，所以.因为，所以面.又平面，故.（）由（）知，又平面平面，交线为，所以平面，故，两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，,.则， ， .设平面的法向量为，则有，即，可取.故，所以直线与平面所成角的正弦值为.11.【解析】为正方形 面面 平面平面由知 平面 平面平面 平面面面 , 四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设 ，设面法向量为.，即， 设面法向量为 .即，

14、设二面角的大小为. 二面角的余弦值为12.【解析】证明：，四边形为菱形，；又，又，面建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量， 13. 解析 （1）证明：因为，所以，.又因为，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取的中点，的中点，联结，因为，所以四边形为平行四边形，所以.由（1）知，平面，所以平面.又，平面，所以，.又因为，所以，从而，两两垂直.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以，所以，.设为平面的一个法向量，由，得.令，则，可得平面的一个法向量.因为，所以，又知平面，平面，所以，又，所以平面.即是平面的一个法向量，从而.由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为.14解析 如