高考数学总复习：第三篇 第2讲 导数在研究函数中的应用.ppt

1、第2讲导数在研究函数中的应用,【2014年高考会这样考】 1考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间、极值、最值 2考查求多项式函数的导数，给出函数的单调区间求函数解析式中某些参数的值或取值范围,考点梳理,函数yf(x)在某个区间内可导 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； 若f(x)0，则f(x)在这个区间内_ (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值_，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值,1导数与函数单调性的关系,2函数的极值,是增加的,是减少的,异号,(2)极大值点与极小值点 若先增后减(导数值先正后负)，则x0

2、为_点； 若先减后增(导数值先负后正)，则x0为_点 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值,3函数的最值,极大,极小,(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,f(a)，f(b),一个条件 f(x)0(或f(x)0)在(a，

3、b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件 两点提醒 针对本讲的内容，利用导数解决问题时应注意以下两点：(1)先求定义域；(2)对参数的分类讨论要做到不重不漏,【助学微博】,考点自测,1. 已知函数yf(x)的导函数的图像如图所示，则函数yf(x)的图像最可能是 (),解析由导函数f(x)的图像可知，当x(，0)时，f(x)0，故f(x)在x(，0)上单调递增；当x(0，2)时，f(x)0，故f(x)在x(2，)上单调递增，结合选项可知，应选C. 答案C,A(1，1 B(0，1 C1，) D(0，) 答案B,Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(

4、x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点 解析f(x)exxexex(1x) 当f(x)0时， 即ex(1x)0，即x1， 当x1时，函数yf(x)为增函数 同理可求，当x1时，函数f(x)为减函数 当x1时，函数f(x)取得极小值 答案D,3(2012陕西)设函数f(x)xex，则 (),4(2013潍坊期末)函数f(x)exx(e为自然对数的底数) 在区间1，1上的最大值是() 答案D,5(2012扬州检测)若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_,考向一利用导数研究函数的单调性,(1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)(f(x)

5、x3)ex，若函数g(x)在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围 审题视点 对于(2)由f(x)0和f(x)0(或令f(x)0解方程，列表)可求；(3)由f(x)0转化为不等式恒成立问题,(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间 (2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0或f(x)0，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围,【训练1】 (2012江西九校联考)已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR)若函数f(x)在区间1，)上是减

6、函数，求实数a的取值范围 f(x)在区间1，)上为增函数，不合题意,当a0时，要使函数f(x)在区间1，)上是减函数，只需f(x)0在区间1，)上恒成立 x0， 只要2a2x2ax10在区间1，)上恒成立,考向二利用导数研究函数的极值,(1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值,(2)由(1)知f(x)2x33x212x1， f(x)6x26x126(x1)(x2) 令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或1. 当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；,当x(2，1)时，f(x)0，故f(x)在(2，1)上为减函数； 当x(1，)时，f(x)0，故f(x)

7、在(1，)上为增函数 从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21； 在x1处取得极小值f(1)6. (1)注意极大值与极小值的判断 (2)已知极值求参数的值：注意f(x0)0是可导函数yf(x)在x0处取得极值的必要不充分条件,考向三利用导数研究函数的最值,【例3】已知函数f(x)x3ax2bx5，记f(x)的导数为 f(x),当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：,又f(4)(4)32(4)24(4)511， f(1)132124154. f(x)在4，1上的最大值为13，最小值为11.,在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)

8、在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得,(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，设g(a)为f(x)在区间0，2上的最小值，写出g(a)的表达式,【命题研究】 通过近三年高考试题分析，题型有：判断已知函数的单调区间，证明函数的单调性；求函数极大值、极小值、最大值、最小值考查形式多为解答题，有少量题目出现在选择题、填空题中，难度为中档或中档偏上,规范解答4导数法求函数最值问题,(1)求a的取值范围； (2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0，1上的最大值和最小值 教你审题 一审 抓住f(0)1，f(1)

9、0，将b，c用a表示； 二审 f(x)在0，1上单调递减等价转化为f(x)0在(0，1)上恒成立； 三审 对a分类讨论求解； 四审 求出g(x)后，应分a0，a1，0a1分类求最值,【真题探究】 (本小题满分14分)(2012江西)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0，1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.,规范解答 (1)由f(0)1，f(1)0，得c1， ab1，(1分) 则f(x)ax2(a1)x1ex， f(x)ax2(a1)xaex. 依题意对于任意x(0，1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图像开口向上，而f(0)a0， 所以f(1)(a1)e0，即0a

10、1；(3分) 当a1时，对任意x(0，1)有f(x)(x21)ex0， f(x)符合条件；(4分),当a0时，对于任意x(0，1)，f(x)xex0，f(x)不符合条件(6分) 故a的取值范围是0，1(7分) (2)因为g(x)(2ax1a)ex， 所以g(x)(2ax1a)ex. (i)当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0时取得最小值g(0)1，在x1时取得最大值g(1)e.(9分) (ii)当a1时，对于任意x(0，1)，有g(x)2xex0，g(x)在x0时取得最大值g(0)2，在x1时取得最小值g(1)0.(11分),阅卷老师手记 (1)本题的难点是分类讨论，考生在分类时易出现不全面，不准确的情况 (2)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题 (3)对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决,用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可以用以下几步答题： 第一步：求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：对含参进行分类讨论； 第三