2.2.2对数函数及其性质教案

1、最新 料推荐2.2.2 对数函数及其性质（一）教学目标（一）教学知识点1 对数函数的概念；2 对数函数的图象与性质（二）能力训练要求1 理解对数函数的概念；2 掌握对数函数的图象、性质；3 培养学生数形结合的意识（三）德育渗透目标1认识事物之间的普遍联系与相互转化；2用联系的观点看问题；3了解对数函数在生产生活中的简单应用教学重点对数函数的图象、性质教学难点对数函数的图象与指数函数的关系教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系：abNlog a Nb2、 ya x (a0且 a1) 的图象和性质a 10 a 16655图443322象1 11 1-4-2246-402460-2-1-1(1)

2、定义域： R1最新 料推荐性（ 2） 域：（ 0， +） （ 3） 点（ 0， 1），即 x=0 ， y=1（ 4）在R 上是增函数（ 4）在 R 上是减函数3、 我 研究指数函数 ，曾 胞分裂 ，某种 胞分裂 ，得到的 胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数， 个函数可以用指数函数y = 2 x 表示 在，我 来研究相反的 ，如果要求 种 胞 多少次分裂，大 可以得到1万个， 10 万个 胞，那么，分裂次数x 就是要得到的 胞个数y 的函数 根据 数的定 ， 个函数可以写成 数的形式就是x log 2 y .如果用 x 表示自 量，y 表示函数， 个函数就是ylog 2x .引出新 - 数函数

3、 二、新授内容：1 数函数的定 ：函数 y log ax (a 0且 a1) 叫做 数函数，定 域 (0,) 学生思考问题：为什么对数函数概念中规定a0, a1?例 1 求下列函数的定 域：1（ 1） y log a x2 ； （ 2） ylog a (4 x) ；(3)ylog 7 x 1分析：此 主要利用 数函数ylog a x 的定 域（ 0， +）求解 解：（1）由 x20 得 x0 , 函数 ylog a x2 的定 域是x | x0 ；（ 2）由 4 x0 得 x4，函数 y log a (4x) 的定 域是x | x 4 ；（ 3）由 x-10 得 x1 ，1函数 ylog 7

4、x 1 的定 域是 1,2 数函数的 象：通 列表、描点、 作ylog 2 x 与 ylog 1x 的 象：2332.52.5221.51 11.5110.50.5-1123456780-0.51-10-0.5123456781-12-1-1.5-2-1 .5-2-2.5-2 .5最新 料推荐思考 ： ylog 2 x 与 ylog 1x 的图象有什么关系？3，（ 1）2log 3log 1xx的图像， 你能画出y=的图像吗？根据对称性 （关于 x 轴对称） 已知 y=3（ 2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象， 观察图象， 找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质 .（ 1

5、） y log 2 x（ 2） ylog 1x2（ 3）ylog 3 x（ 4）ylog 1x34对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质a10 a 13最新 料推荐332.52.5221.51.5图1 11 10.50.5-10-.5112345678-1 0-0 .511 2345678象-1-1-1 .5-1 .5-2-2-2 .5-2 .5定义域：（ 0，+）值域： R过点（ 1， 0），即当 x=1 时， y=0性质x( 0,1) 时 y0x(0,1) 时y0x(1,) 时y0x(1,)时 y0在（ 0， +）上是增函数在（ 0， +）上是减函数三、讲解范例：例 2比较

6、下列各组数中两个值的大小： log 2 3.4,log 2 8.5 ； log 0. 3 1.8,log 0.3 2.7 ； log a 5.1, log a 5.9(a 0,a 1) 解：考查对数函数y log 2 x ，因为它的底数21，所以它在（ 0，+）上是增函数，于是 log 2 3.4 log 2 8.5考查对数函数 ylog 0.3 x，因为它的底数00.31 ，所以它在（ 0， +）上是减函数，于是 log 0.3 1.8log 0 .3 2.7 小结 1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：确定所要考查的对数函数；根据对数底数判断对数函数增减性；比较真数大小，然后利用对数函数

7、的增减性判断两对数值的大小当 a1时， y log a x 在（ 0， +）上是增函数，于是log a 5.1 log a 5.9 ；当 0a1时， y log a x 在（ 0， +）上是减函数，于是 log a 5.1 log a 5.9 小结 2：分类讨论的思想 对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1 还是小于 1而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握四、 练习 1。（ P73、 2）求下列函数的定义域：4最新 料推荐（ 1） y= log 3 (1- x)(2)y=11(3) y= log 7log 2 x1 3x(4) ylog 3

8、x（ 5 ylog 2 (16 4 x )（ 6） y log x 1 (3x)解：（ 1）由 1-x 0 得 x1所求函数定义域为 x|x 1 ；(2)由 log 2 x0，得 x 1，又 x0所求函数定义域为 x|x 0 且 x 1 ；1011(3)由 13x x|x,得 x3所求函数定义域为 ；13x03(4)由x0, 得 x0x 1所求函数定义域为 x|x 1.log3 x0x1练习 2、 函数 ylog a ( x1)2(a 0, a1)的图象恒过定点（）、已知函数y log a (x 1) (a 0, a 1)的定义域与值域都是 0， 1，3求 a 的值。（因时间而定，选讲）五、课

9、堂小结对数函数定义、图象、性质；对数的定义，指数式与对数式互换；比较两个数的大小六、课后作业：1阅读教材第 70 72 页；2.习案 P191 192 面。5最新 料推荐2.2.2对数函数及其性质（二）教学目标1.教学知识点1 对数函数的单调性；2同底数对数比较大小；不同底数对数比较大小；对数形式的复合函数的定义域、值域；对数形式的复合函数的单调性2.能力训练要求4 掌握对数函数的单调性；掌握同底数对数比较大小的方法；掌握不同底数对数比较大小的方法；掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；5掌握对数形式的复合函数的单调性；6培养学生的数学应用意识3.德育渗透目标1用联系的观点分析问题、解决问题；

10、认识事物之间的相互转化教学重点1利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；2求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；3求对数形式的复合函数的单调性的方法教学难点1不同底数的对数比较大小；对数形式的复合函数的单调性的讨论教学过程一、复习引入：1对数函数的定义：函数 ylog a x (a0且 a1) 叫做对数函数，对数函数ylog a x(a0且a1) 的定义域为 (0,) ，值域为 (,) 2、对数函数的性质：a 10 a 16最新 料推荐332.52.5221.51.5图1 11 10.50.5-10-.5112345678-10-0 .5112345678象-1-1-1 .5-1 .5-2

11、-2-2 .5-2 .5定义域：（ 0，+）值域： R性过点（ 1， 0），即当 x1时， y0 质x( 0,1)时y0x(0,1)时 y0 x(1,) 时y0x(1,)时 y0 在（ 0， +）上是增函数在（ 0， +）上是减函数3书 P73 面练习 35 函数 y=x+a 与 ylog a x 的图象可能是 _yyyy111111xo1ooxxo1x二、新授内容：例 1 比较下列各组中两个值的大小： log 6 7,log 7 6 ； log 3, log 2 0.8 （ 3） 60.7 ,0.76 , log 0. 7 6解：log 6 7log 6 61 ， log 7 6log 7

12、71，log 6 7log 7 6 log 3log 3 10 ， log 2 0.8log 2 10 ，log 3log 2 0.8 小结 1：引入中间变量比较大小:例 1 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1 或 0 等，间接比较两个对数的大小练习 ： 1比较大小（备用题）7最新 料推荐11 log0.3 0.7 log 0.4 0.3 ； log3. 4 0.7 log0.6 0.823； log0.3 0.1 log0.2 0.1 例 2 已知 x = 9 时，不等式 loga (x2 x 2) loga (x2 +2x + 3) 成立

13、，4求使此不等式成立的x 的取值范围 .解： x = 9使原不等式成立 . log a (9 )292 loga 1(9 )2293)44444即 loga13 loga39而13 39a0 a 1.16.1616. 所以 y = log x 为减函数，故16x2x20x1或 x2原不等式可化为x 22 x30，解得1x3.x2x2x22x31x52故使不等式成立的x 的取值范围是 (2,5 )2例 3 若函数 f ( x)log ax(0a1) 在区间 a， 2a上的最大值是最小值的3 倍，求 a 的值。（ a2）4例 4求证：函数 f (x) = log 2 1 xx 在 (0, 1) 上

14、是增函数 .解：设 0 x1 x2 1，则 f (x2) f (x1) = log2x2log 2x1log 2x2 (1x1 )= log 2x21 x1 .1 x21 x1(1 x2 )x1x11 x2 0x1x2 1，x2 1，1x1 1.x21x1x1x则 log 2 x1 x 0，1212 f (x2)f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数例 5 已知 f (x) = log a (a ax) (a 1).（ 1）求 f (x)的定义域和值域；（2）判证并证明f (x)的单调性 .解：（ 1）由 a 1，a ax 0，而 a ax，则 x 1.故 f (x)的定义

15、域为 (1, + ) ，而 ax a，可知 0 a axa， 又 a 1. 则 loga(a ax) lg aa = 1.取 f (x) 1，故函数 f (x)的值域为 ( , 1).（ 2）设 x1 x2 1，又 a 1， a x1 a x2 ， aa x1 a a x2 ， loga (a a x1 ) loga (a a x2 )，即 f (x1) f (x2)，故 f (x)在 (1, + )上为减函数 .例 6 书 P72 面例 9。指导学生看书。8最新 料推荐（备选题）求下列函数的定义域、值域：例 7 y log 2 ( x 22x5) ； ylog 1 (x 24x5) ；3解：

16、 x 22 x5( x1) 244 对一切实数都恒成立，函数定义域为R从而 log 2 ( x22x5)log 2 42即函数值域为 2,) 要使函数有意义，则须：x24 x50x24x501x5 ，由 1 x5在此区间内( x24x 5) max9 ， 0x 24x5 9 从而 log 1 (x24x5)log 192即：值域为 y2 ，33定义域为 -1,5 ，值域为 2,) 例 8（备选题） 已知 f (x) = log ax (a 0， a 1)，当 0 x1 x2 时，试比较 f ( x1x 2 ) 与 1 f ( x1 )f (x 2 ) 的大小，并利用函数图象给予几何解释.22【

17、解析】因为f ( x1x2 )1 f ( x1 )f ( x2 ) log ax1x21log a x1log a x2 2222x1x2log ax1 x2log ax1x2又12= log a22x1 x20 x x ， x1 + x2 2 x1x 2( x1x2 )2 0，即 x1 + x2 2x1 x2 ， x1x2 1.2 x1 x2于是当 a 1时， log ax1x20.此时 f ( x1x2 ) 1 f ( x1 )f (x 2 )2 x1 x222x1x2) 1 f ( x1 ) f ( x2 )同理 0 a 1 时 f (22或：当 a 1 时，此时函数y = log a

18、x 的图象向上凸 .显然， P 点坐标为x1x2 )，又 A、B 两点的中点 Q 的纵坐标为1f(122 f (x ) + f (x ) ，2由几何性质可知f (x1x2) 1 f(x1 )f ( x2 ) .22当 0a 1 时，函数图象向下凹. 从几何角度可知x1x 2 0，log a2x1 x 2x1 x2) 1f (x2 )y此时 f ( f (x1 )P( x1x2x1x2 )B2222(x2, f (x2)(x1x2, 1 f ( x )f (x)(x1, f (x1) Q2212Ax9x1x 2x12x2最新 料推荐四、课堂小结：2 比较对数大小的方法；2对数复合函数单调性的判断

19、；3对数复合函数定义域、值域的求法五、课后作业1习案 P193 与 P195 面。备选题2讨论函数f ( x)log 2 ( x21) 在 (,0) 上的单调性 （减函数）3.已知函数y= log a (2- a x )在 0， 1上是减函数，求a 的取值范围解： a0 且 a 1,当 a 1 时， 1 a 2.当 0a1 时， 0a1，综上述， 0a1 或 1 a 22.2.2 对数函数及其性质（三）教学目标（一）教学知识点1了解反函数的概念，加深对函数思想的理解2反函数的求法（二）能力训练要求1使学生了解反函数的概念；2使学生会求一些简单函数的反函数（三）德育渗透目标培养学生用辩证的观点，

20、观察问题、分析问题、解决问题的能力教学重点1反函数的概念；2反函数的求法教学难点反函数的概念教学过程一、复习引入：1、我们知道， 物体作匀速直线运动的位移s 是时间 t 的函数， 即 s=vt，其中速度v 是常量，定义域t0，值域 s0；反过来，也可以由位移s 和速度 v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间， 即 ts0，这时， 位移 s 是自变量， 时间 t 是位移 s 的函数， 定义域 sv10最新 料推荐值域 t0问题：函数s=vt 的定义域、值域分别是什么？问题：函数ts中，谁是谁的函数？v问题：函数s=vt 与函数 ts之间有什么关系？v2、又如，在函数 y 2x 6 中，x 是自变

21、量， y 是 x 的函数，定义域 x R，值域 y R 我们从函数 y 2x 6 中解出 x，就可以得到式子 xy3 这样，对于 y 在 R 中任何一个2值，通过式子xy3， x 在 R 中都有唯一的值和它对应因此，它也确定了一个函数：2y 为自变量， x 为 y 的函数，定义域是 y R，值域是 x R3、再如：指数函数 ya x 中，x 是自变量， y 是 x 的函数，由指数式与对数式的互化有： x log a y对于 y 在（ 0， + ）中任何一个值，通过式子xlog a y ， x 在 R 中都有唯一的值和它对应因此，它也确定了一个函数：x log a y ，y 为自变量， x 为

22、y 的函数，定义域是 y（ 0， +），值域是 x R二、讲解新课：1反函数的定义一般地，设函数y f (x)( x A) 的值域是 C，根据这个函数中x， y 的关系，用 y 把 x表示出，得到x=(y) 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过x=(y)， x 在 A 中都有唯一的值和它对应， 那么， x=(y)就表示 y 是自变量， x 是自变量 y 的函数， 这样的函数 x= (y)( y C)叫做函数 yf ( x)( xA) 的反函数，记作 xf 1 ( y) ，习惯上改写成 yf 1 ( x)开始的两个例子：s=vt 记为 f ( t) vt ，则它的反函数就可以写为f 1 (t

23、)t ，同样vy 2x 6记为 f ( x)2x6，则它的反函数为：f 1 ( x)x 32探讨 1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数yf ( x) 来说，不一定有反函数， 如 yx2 ，只有“一一对应” 确定的函数才有反函数，yx2 ，11最新 料推荐x0,) 有反函数是yx探讨 2：互为反函数定义域、值域的关系函数 yf ( x)反函数 y f 1 ( x)定义域AC值 域CA探讨 3： y f1 (x) 的反函数是什么？若函数 yf ( x) 有反函数 yf 1 ( x) ，那么函数 yf 1 ( x) 的反函数就是

24、 yf ( x) ，这就是说，函数 yf (x)与 yf1 ( x) 互为反函数探讨 4：探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：（ 1）函数 yf ( x) 的图象和它的反函数yf 1 (x) 的图象关于直线yx 对称（ 2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性三、讲解例题 ：例 1求下列函数的反函数： y3x1( xR) ； yx31(xR) .解：由 y3xy 11解得 x3函数 y3x1( xR) 的反函数是 yx1 ( xR) ，3由 y x31(x R) 解得 x= 3y 1 ，函数 yx31( xR) 的反函数是 y3 x1( xR)小结：求反函数的一

25、般步骤分三步，一解、二换、三注明例 2 函数ylog (x1)(a 0且 a 1)的反函数的图象经过点（1 4.a， ），求 a 的值【解析】根据反函数的概念，知函数ylog a ( x1) (a0且 a1) 的反函数的图象经过点（4， 1）， 1log a 3 ， a3 .12最新 料推荐【小结】若函数例 3已知函数y f (x) 的图象经过点 (a,b) ，则其反函数的图象经过点 (b, a) .y f ( x)x 1，求 f1 (3) 的值解：方法一：x0y1由 yx 1解得： x ( y1) 2f1 ()(x1)2 (x1)为原函数的反函数， f1(3) 4x方法二：由反函数的定义得：3x1，解得： x 4，即 f1 (3) 4练习 1 求下列函数的反函数：（ 1） y= 4 x (x R),(2) y= 0.25