概率论与数理统计 第7章.ppt

1、第二节 基于截尾样本的最大似然估计,一、基本概念,二、基于截尾样本的最大似然估计,三、小结,一、基本概念,1. 寿命分布的定义,产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿命分布.,2. 完全样本的定义,(一种典型的寿命试验),如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.,3. 两种常见的截尾寿命试验,(1) 定时截尾寿命试验,(2) 定数截尾寿命试验,二、基于截尾样本的最大似然估计,1. 定数截尾样本的最大似然估计,设产品的寿命分布是指数分布,其概率密度是,设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m,得定数截尾样本,为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.,上述观察结果出现的概率近似地为,

2、取似然函数为,对数似然函数为,2. 定时截尾样本的最大似然估计,设定时截尾样本,与上面讨论类似,得似然函数为,例,设电池的寿命服从指数分布,其概率密度为,随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.,解,三、小结,两种常见的截尾寿命试验,定时截尾寿命试验,定数截尾寿命试验,定时截尾样本的最大似然估计:,定数截尾样本的最大似然估计:,第三节 估计量的评选标准,一、问题的提出,二、无偏性,三、有效

3、性,四、相合性,五、小结,一、问题的提出,从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.,问题,(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?,(2)评价估计量的标准是什么?,下面介绍几个常用标准.,二、无偏性,无偏估计的实际意义: 无系统误差.,证,例1,特别的:,不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在,证,例2,(这种方法称为无偏化).,证明,例3,由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.,三、有效性,由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.,

4、证明,例4 (续例3),四、相合性,例如,证明,由大数定律知,例5,由大数定律知,五、小结,估计量的评选的三个标准,无偏性,有效性,相合性,相合性是对估计量的一个基本要求, 不具备相合性的估计量是不予以考虑的.,由最大似然估计法得到的估计量, 在一定条件下也具有相合性.,估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性.,第四节 区间估计,一、区间估计的基本概念,二、典型例题,三、小结,一、区间估计的基本概念,1. 置信区间的定义,关于定义的说明,若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n),按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,例如,2. 求置信区间的一般步骤(共3步),解,例1,

5、二、典型例题,这样的置信区间常写成,其置信区间的长度为,由一个样本值算得样本均值的观察值,则置信区间为,其置信区间的长度为,比较两个置信区间的长度,置信区间短表示估计的精度高.,说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况, 易证取a和b关于原点对称时,能使置信区间长度最小.,今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160.,解,例2,三、小结,点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入了区间估计.,求置信区间的一般步骤(分三步).,第五节 正态总体均值与方差的区间估计,一、单个总体的情况,二、

6、两个总体的情况,三、小结,一、单个总体 的情况,由上节例2可知:,1.,包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布,解,附表2-1,例1,附表2-2,查表得,推导过程如下:,解,有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值,附表3-1,例2,就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.,这个误差的可信度为95%.,解,附表3-2,例3,(续例1)如果只假设糖包

7、的重量服从正态分布,推导过程如下:,根据第六章第二节定理二知,2.,进一步可得:,注意: 在密度函数不对称时,习惯上仍取面积对称的分位点来确定置信区间.,(续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间.,解,代入公式得标准差的置信区间,附表4-1,附表4-2,例4,解,例5 (续例1),二、两个总体 的情况,讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.,推导过程如下:,1.,解,由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),解,由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),推导过程如下:,2.,根据F分布的定义, 知,解,解,例,非正态总体参数的区间估计,均存在.求 的置信水平为 的置

8、信区间.,设 为来自总体 的样本,且,利用中心极限定理可知,当 充分大时有,近似,近似,从而求得 的置信水平为 的近似置信区间为,解,因总体 的分布未知，故这是非正态总体参数的区间估计问题,若 未知,则有,例10 某厂新研究并开发了某类设备所需的关键部件，现无法确定此部件的连续使用寿命X （单位：kh）所服从的分布类型。通过加速失效试验法，测试100个此类部件的连续使用寿命。测得样本平均值为17.84，样本标准差为s=1.25，试由试验结果求 =EX的置信水平为99%的近似置信区间。,三、小结,附表2-1,标准正态分布表,1.645,1.96,附表2-2,标准正态分布表,附表3-1,分布表,2

9、.1315,2.2010,附表3-2,分布表,附表4-2,分布表,6.262,附表4-1,分布表,27.488,第七节 单侧置信区间,二、基本概念,三、典型例题,一、问题的引入,四、小结,一、问题的引入,指标的分类,寿命、收入、生产率、射击命中率等越大越好,次品率、杂质含量、事故次数等越小越好,对这类“好”指标 关心下限,对这类“坏”指标 关心上限,满足 有,定义,二、基本概念,若存在统计量,2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间,例,解,的无偏估计分别是,故 的置信度为 的单侧置信上限为,且,（注意 较小）,解,形式运算,的无偏估计分别为,三、典型例题,设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280,