第三章 流体动力学基础

1、.,第三章 流体动力学基础,流体动力学的基础知识、基本原理和基本方程。内容重要，是整个课程的重点。,.,3-1描述流体运动的两种方法,连续介质模型告诉我们：流体是由无数质点组成，而流体质点是连续的、彼此无间隙的充满空间。通常把由运动流体所充满的空间称为流场。表征流体运动的物理量，通称为流体的流动参数。,.,一、拉格朗日法与质点系,拉格朗日方法（lagrangian method）着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观察每一流体质点的运动轨迹和运动参数跟踪追迹法。是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动

2、。质点系法 空间坐标 （a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数 （1）（a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数,t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。 由于位置又是时间t的函数，对流速求导可得加速度： 速度 加速度 由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。,.,注意质点系概念： 在t0时紧密毗邻的具有不同起

3、始坐标（a,b,c)的无数质点组成一个有确定形状、有确定流动参数的质点系。经过t时间之后，质点系的位置和形状发生变化。,.,二、欧拉法与控制体,欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法流场法 。它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。 （设立观察站的方法） 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数： 速

4、度 （x,y,z,t）欧拉变量 控制体：将孤立点上的观察站扩大为一个有适当规模的连续区域。控制体相对于坐标系固定位置，有任意确定的形状，不随时间变化。控制体的表面为控制面，控制面上有流体进出。,.,质点的加速度 流体质点运动速度在欧拉法中，由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度: 代入上式得： 由两部分组成：等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度； （1）时变加速度（当地加速度）（local acceleration）流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）位变加速度（迁移加速度）（connective acceleration）流动过程

5、中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。 在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于零； 在均匀流中，质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。,.,3-2流体运动中的基本概念,一、定常流与非定常流（或恒定流与非恒定流）,二、均匀流与非均匀流,.,三、一元流、二元流与三元流,按流体运动要素所含空间坐标变量的个数分： （1）一元流 一元流(one-dimensional flow):流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标

6、s的函数，这种流动属于一元流动。 （2）二元流 二元流(two-dimensional flow):流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。 （3）三元流 三元流（three-dimensional flow):流动流体的运动要素是三个空间坐标函数。,.,四、迹线、流线,1、迹线 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。是拉格朗日法描述流体运动的基础。,.,2、流线 定义：流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。流线是欧拉法描

7、述流体运动的基础。图为流线谱中显示的流线形状。 流线的作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2，如此继续下去，得一折线1234 ，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。,.,流线的方程 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 设ds为流线上a处的一微元弧长: u为流体质点在a点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。 所以 即 展开后得到： 流线方程,.,流线的性质 （1）定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线和流线重合 （2）实际流场中除驻点和奇点

8、外流线不能相交，不能突然转折,.,五、流管、流束,1、流管 流管（stream tube )：在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些无数流线所组成的管状的假想表面。 性质：不能相交 ，流体质点不能穿过流管表面。 在定常时，形状和位置不随时间变化而变化。 非定常时，形状和位置可能随时间变化而变化。 2、流束 流管内的全部流体为流束。流束的极限是一条流线。极限近于一条流线的流束为微元流束。 3、总流 把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。 4、过流断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的过流断面。 5、缓变流动 如果微小流束（流线）

9、间的夹角及流束的曲率都非常小，这种流动称为缓变流动。反之急变流。缓变流的过流断面可看作是平面。急变流的过流断面是曲面。,.,缓变流,.,六、流量、净通量,1、流量 单位时间内通过某一过流断面的流体量。体积流量qv或q表示，质量流量qm。 体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）： 如果da不是过流断面，而是与微元流束相交的任意断面，则 体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）： 2、净通量 流过全部封闭控制面a的流量称为净流量，或净通量。,.,七、过流断面上的平均速度与动能动量修正系数,1、断面平均速度 过流断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断面平

10、均流速。 2、动能及动能修正系数 动能（kinetic energy）：是指物体由于机械运动而具有的能量。 单位时间内通过过流断面的流体动能是： 动能修正系数是实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值。,.,注意：动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0。,层流流速分布 湍流流速分布,.,2、动量及动量修正系数 动量（momentum)是物体运动的一种量度，是描述物体机械运动状态的一个重要物理量。 单位时间内通过过流断面的流体动量是： 动量修正系数是实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。 动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过

11、水断面的流速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0。,.,层流流速分布 湍流流速分布,.,基于质量守恒定律：质量不能无缘无故的自生自灭。 建立一控制体 在单位时间内流过控制面的净质量流量： 在单位时间内控制体的质量减少： 由质量守恒定律得连续方程式的积分形式 或,3-3连续方程式,一、基本原理,.,特例,特例1 定常流动 则,特例2 不可压缩流动 为常数 则,.,流管流动的连续性方程的应用： 恒定流动时： 对于不可压缩流体，则,.,连续性方程的积分形式： 由奥高公式 根据控制体与时间的无关性 直角坐标系下连续性方程的微分形式 即 想一想：恒定、不可压情况下，连续性方程的微分形式。,二、连续性

12、方程的微分形式,.,3-4流体微团的运动分析,一、流体与刚体比较,刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。,流体质点的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形（角变形和线变形）。,.,二、流体微元的速度分解,a(x,y,z)点速度为vx, vy, vz，则c点的速度为：,.,三、有旋流和无旋流,根据流体微团是否绕自身轴旋转，可分为有旋流和无旋流。 1.定义：有旋流（vortex）：亦称“涡流”。流体质点（微团）在运动中不仅发生平动（或形变），而且绕着自身的瞬时轴线作旋转运动。如旋风即为空气的涡流。当流体速度变化较大，由于流体粘滞阻力、压强不均匀等因素的影响，就容易形成涡流。 无旋流（p

13、otential flow）亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，它的微小单元只有平动或变形，但不发生旋转运动，即流体质点不绕其自身任意轴转动。 注意：无旋流和有旋流决定于流体质点本身是否旋转，而与运动轨迹无关。,.,2.有旋流和无旋流的特性 （1）若wx=wy=wz=0，即 则流动为无旋流，否则，为有旋流。 有旋流（涡流）wx、wy、wz中任一个或全部不等于零的流体运动，绕自身轴有旋转的运动。（与通常的旋转不同）流场内流体质点具有绕质点自身任意轴的角速度。 （2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一个矢量，所以可如同用流线描述流动一样，可用涡线描述流动的旋转变化。 涡线在同一瞬时线上各质点

14、的转速矢量都与该曲线相切。 无旋流一般存在于无粘性理想流体中。 有旋流一般存在于有粘性实际流体中。,.,例题,已知流体流动的流速场为 ，判断该流动是无旋流还是有旋流？ 解： 故液体流动是无旋流。,.,3-5实际流体的运动微分方程式,一、作用在流体微元上的应力,应力矩阵,.,二、本构方程,确定应力与应变的方程式叫本构方程。,其中,p： 在平衡流体，代表一点上的流体静压强； 在理想流体，代表一点上的流体动压强； 在不可压实际流体，代表一点上的流体动压强的算术平均值。,.,三、纳维斯托克斯方程式,不可压实际流体的运动方程式 n-s方程,想一想理想流体、静止情况下的方程。,.,3-6 伯努利方程式及其

15、应用,一、流线上的伯努利方程式,假设单位质量的流体质点某瞬时的速度为vvx i+ vy j+ vzk， 经dt时间，质点沿流线移动一段微小距离dsdxi+dyj+dzk vxdt i+ vydt j+ vzdt k，为求出单位质量流体移动ds距离与外力作功的能量关系，将ds的三个投影分别与n-s方程的三个式子相乘，然后相加，得,.,下面分别对式中的四类项进行简化 质量力项，假设质量力有势 压强项 粘性摩擦力项 导数项,.,将结果代回原式，则可得,则,适用范围：非定常、质量力有势。,适用范围：定常、质量力有势。,适用范围：定常、重力场、不可压流体。,适用范围：理想、定常、重力场、不可压流体。,.

16、,那么，实际流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯努利方程为：,理想流体在相同条件下，在流线上任意两点间的伯努利方程为：,.,二、粘性总流的伯努利方程式,粘性流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯努利方程为,其中 用 代替，则,在实际工程中，我们遇到的往往是过流断面具有有限大小的流动，我们称它们为总流。因此我们应将沿流线的伯努利方程推广到沿总流上去。将上式乘以gdqv，然后对整个总流断面积分，这样就获得总流的能量关系式,.,1) 为单位时间内通过断面a的势能总和。,假设两个过流断面上的流动为缓变流动,在缓变流动情况下，过流断面可以近似地认为是一个平面

17、。由于过流断面是与流线上的速度方向成正交的断面，故而在过流断面上没有任何速度分量。如果令x轴与过流断面相垂直,如图，则 n-s方程的第2及第3式与流体静力学地平衡方程相同，这说明在缓变流时，yz断面上各点保持流体静力学地规律 ，即,.,2) 为单位时间内通过断面a的动能总和。,断面上速度v是变量，如果用平均流速 代替，则,3） 为单位时间内流体克服摩擦阻力作功而消耗的机械能。该项不易通过积分确定，可令,hf表示总流中单位重量流体从断面1-1到2-2平均消耗的能量。,.,则1-1到2-2的伯努利方程为,即,总流能量方程（即伯努利方程）在推导过程中的限制条件 （1）恒定流； （2）不可压缩流体；

18、（3）质量力只有重力； （4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过流断面间可以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重量流体的平均能（比能），对流体总重的能量方程应各项乘以gqv，,.,三、伯努利方程式的应用,1. 皮托管,速度滞止图 皮托管,因为z1=z2，v2=0，这里流场为均匀，点1至2 hf 0，所以,静压强,动压强,滞止压强,.,皮托管与测压管联合使用,由于皮托管结构会引起液流扰乱和微小阻力，故精确计算还要对速度公式加以修正 cv为流速系数，一般条件下为0.970.99,.,皮托静压管,.,

19、2.节流式流量计 工作原理：在管道中安装一个过流断面略小的节流元件，使流体流过时，速度增大、压强降低。利用节流元件前后的压强差来测定流量的仪器称作节流式流量计。节流式流量计有孔板、喷嘴和圆锥式（又叫文丘利）三种类型。,因为z1=z2，如果暂不计能量损失ghf，且1与2均接近于1，所以 设孔板的断面为a，该处的速度为v，由连续性方程可得 代入伯努利方程： 于是理论流量为 ：,.,流量系数cq可达0.98。,实际流量qv小于理论流量qt，我们用下列通用形式来表示流量 cq为流量系数，对锐缘的孔板流量计约为0.60.62,.,补充、沿程有能量输入或输出的伯努利方程,沿总流两断面间装有水泵、风机或水轮

20、机等装置，流体流经水泵或风机时将获得能量，而流经水轮机时将失去能量。设单位重量液体所增加或减少的能量用h来表示，则总流的伯努利方程为,上式中，h前面的正负号，获得能量为正，失去能量为负。对于水泵，h为扬程。,水池通过泵将水送至水塔。列出水池液面（1-1断面）至水塔液面（2-2断面）的伯努利方程 ，因为液面敞开在大气中，液面上流速v1和v2近似于0 ，所以,.,泵在单位时间内对通过的液体所作的功叫做泵的有效功率或输出功率，用nt表示，公式为 因为泵内的能量损失，泵的输入功率n要大于输出功率nt，输出功率与输入功率之比为泵的效率,.,3-7 动量方程式及其应用,一、用欧拉法表示的方程式,关于质点系

21、动量定理：,i,ii,iii,t,t t,t 时刻：质点系的动量 msyst，控制体的动量 mcvt 经t时间，在t t时刻： 质点系的动量 msyst t ，控制体的动量 mcvt t 经t时间，质点系的动量变化： msys msyst t msyst 其中， msyst t ii+iii(i+ii)-iiii mcvt t mcvi mcvo,经t时间流入控制体的流体动量,经t时间流出控制体的流体动量,所以， msys mcvt t mcvt mcvi mcvo mcv mcvi mcvo,., mcv=, mcvi mcvo=,即,欧拉方法表示的动量方程式,作用在控制体内质点系上的所有外

22、力的矢量和。,是控制体内流体动量对时间的变化率，定常流动时为0。,单位时间内控制体流出动量与流入动量之差。,.,定常、不可压、一元流的情况：,虚线所围的区域为控制体，过流断面上的平均速度为v1，v2，由动量方程为：,在三个坐标轴上的投影式为,注意：方程式的受力对象；外力与速度的方向；控制体流出、流入动量的符号。,.,二、动量方程式的应用,1.流体对管道的作用力,已知1、 2、 a1、 a2、p1、 p2、 v1、 v2 求密度为、流量为qv的流体对弯管的作用力frx和fry,第一步：取控制体 第二步：分析流体质点系受到的外力，忽略重力 frx、fry、 p1 a1、 p2 a2 第三步：运用动量方程式 第四步：解出流体对管道的作用力,.,【特例1】