第四章(心理)随机变量的概率分布.ppt

1、,第四章 随机变量的概率分布 一、随机变量 1、随机现象：一定条件下出现的结果事先不能确定 的现象。（掷硬币后哪面朝上？） 确定性现象：一定条件下某种结果是否出现事先 能确定的现象。（必然现象与不可能现象） 2、随机试验：对随机现象的一次观察。 随机事件：随机现象中出现的各种可能的结果。,3、随机变量 ：描述随机试验结果（随机事件）的变 量称随机变量。即：用随机变量的不同取值 表示随机试验的各种不同结果。 试验 试验结果（事件） 随机变量 抛掷一枚硬币 正面，反面 Z=1 , Z=-1 对某一零件进行检验 合格，不合格 X=1 , X=0 投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6 Y=1 ,Y=2

2、, Y=6 进行一场足球比赛 获胜，失利，平局 Q=3, Q=0, Q=1,二、概率 反映随机事件在试验中发生的可能性大小的数字指标叫作概率。 在频数（率)分布中我们关心的是变量取值的频数或频率； 对于随机变量我们的重点不在于它取值的频数或频率，而 是它取该值的概率。 1、概率的古典定义 如果（1）某一随机试验的结果有限； （2）各个结果出现的可能性相等， 则某一事件A发生的概率为该事件所包含的试验结果（基本事件） 数m与试验所包含的全部试验结果（基本事件）数n的比值。,例： 试验 试验结果（事件） 投掷一颗骰子 1，2，3，4，5，6 求 点数2朝上的概率 解：“点数2朝上”设为事件A,它只

3、包含1个基本事件； 试验的全部基本事件有6个，即m=1 , n=6 P（A）= m/n = 1/6,例 某班有50人，其中男生32人，女生18人，随机抽取 一名学生，问抽到女生的概率是多少 解：“随机抽取学生”是一次随机试验，共包含50个结 果（50个基本事件）， “抽到女生”由18个基本事件 组成。由于每一位学生被抽到的可能性相等，则： P(抽到女生）= 18 / 50 = 0.36,2、概率的统计定义 在相同条件下，随机试验次，某事件A出现次（），则比值m/n称为事件A发生的频率; 随着的增大,该频率围绕某一常数上下波动,且波动的幅度逐渐减小,趋向于稳定,这个频率的稳定值即为该事件的概率,

4、记为：,实验者 N nH nH/N (法) 蒲丰（Buffon） 4040 2048 0.5069 (南非)柯瑞奇（Kerrich） 10000 5067 0.5067 (英)皮尔逊（Pearson） 12000 6019 0.5016 (英)皮尔逊（Pearson） 24000 12012 0.5005 N为投掷硬币的次数，nH为正面朝上的次数,思考题：判断以下哪些试验符合概率的古典定义的要求？ 试验试验结果（事件） 抛掷一枚硬币正面，反面 对某一零件进行检验合格，不合格 投掷一颗骰子1，2，3，4，5，6 进行一场足球比赛 获胜，失利，平局,3、概率的加法定理和乘法定理 （1）概率的加法定

5、理 若事件发生，则事件就一定不发生，这样的 两个事件为互不相容事件。 两互不相容事件和的概率，等于这两个事件概 率之和，即：,（2）概率的乘法定理 若事件发生不影响事件是否发生，这样的两 个事件为互相独立事件。 两个互相独立事件积的概率，等于这两个事件概 率的乘积，即：,当事件与事件相互不独立时，常计算其中一个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。 发生的情况下发生的概率记作 P(B/A) 发生的情况下发生的概率记作 P(A/B) 这时与的乘积为： P(AB)= P(A).P(B/A) 或 P(AB)= P(B).P(A/B),例：某一学生从个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率

6、为15，则抽到试题或试题的概率是多少？ 如果有4名学生抽题，前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则名学生都抽到试题1的概率是多少？,计算： 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和，即： 4名学生都抽到第一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即,例 有10个人抓阄，其中只有三个是中的，规则是一人抓完后下一个人接着抓。问第二个人抓中的概率是多少 令 A1表示“第一个人抓中”，B1表示“第一个人未抓中” A2表示“第二个人抓中” 则 P(A1)= 3/10 P(B1)= 7/10 P(A2/A1)= 2/9 P(A2/B1)= 3/9 P(A2)= P(A1)

7、P(A2/A1)+ P(B1)P(A2/B1) = 3/10 2/9 +7/10 3/9 =3/10 任何一个人抓中的概率是相等的,利用概率处理问卷中的敏感问题随机回答法 操作方式 A. 上周考试我作弊了 B. 上周考试我没作弊 统计原理 设该次考试作弊概率为 所有回答“是”的人数比例为 P(S) = m/n 抽到A的概率为P(A)，抽到B的概率为P(B) 根据概率的乘法定理 P(AS)=P(A) P(S/A) P(BS)=P(B) P(S/B),是/否,根据概率的加法定理 P(S) = P(AS) + P(BS) = P(A) P(S/A) + P(B) P(S/B) 当样本较大时，抽到A的

8、人中作弊的比例应约等于；同样抽到B的人中作弊的比例也应约等于，即 = P(S/A) = 1 - P(S/B) 所以 P(S) = P(A) + P(B) (1-) 得到 条件：P(A) 不等于 P(B),例：316人参加调查，91人答“是”，已知P(A)=0.8 则 P(S)= = =0.147 即316人中估计有14.7%的人作弊。 如果进行区间估计，的标准差（标准误）。 =,无关问题模型 是 否 a= (P0) a= 注意 ： a+b不一定是1，所以该模型须事先或事后使b已知。,例： 从公司抽取200人进行上述调查，P(A)=0.8 ,结果答“是”的有80人（从档案中查得公司中有哥哥的占2

9、0%）则 P=0.8 b=0.2 P(S)= a= =0.45 a= = =0.043 0.95的置信区间为 0.451.960.043 0.37 0.53,三、随机变量的概率分布 与用频数（率）分布来描述变量的取值情况类似，对于随机变量取不同值时的概率，我们可以用概率分布来描述。 依随机变量的类型，可将概率分布分为离散型概率分布与连续型概率分布。心理与教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布，最常用的连续型分布是正态分布。,1、二项分布（binomial distribution） 条件: 1)各次试验彼此独立。 2)每次试验的结果,只能是两个对立事件之一，即“A发 生”和“A不发生”两个事

10、件中的一个。 3)每次试验中P(A)不变 则 n次试验中“事件A”发生的次数为X的概率： 二项分布均值与方差 E(X)= =np = npq,全凭猜测答10道是非题，问分别答对5、6、7、8、9、10题的概率各为多少？至少答对5题的概率又是多少？,全凭猜测答10道4选1选择题，问分别答对8、9、10题的概率各为多少？至少答对1题的概率又是多少？至少答对9题的概率是多少？,商店经理估计进入该服装店的任一顾客购买服装的概率是 0.30, 那么三个顾客中有两个购买的概率是多少? 分析： 试验包含了三个相同的试验，进入商店的三个顾客的任一个即为一次试验 每次试验都有两个结果：顾客购买或不购买 顾客购买

11、的概率(0.30)或不购买的概率(0.70)被假设为对所有顾客都相等 某个顾客的购买决定独立于其他顾客的购买决定,思考一 在双方正常发挥的情况下，小张的棋力与小王相比约为3：5，问小张“赛5盘胜3盘”的可能性与“赛3盘胜2盘”的可能性哪个大些 思考二 学生小组进行某种心理学实验（失败了可以重复再做），根据以往经验，假设该实验成功的概率为0.6 。老师要求，连续若干次都失败的概率小于5%，问至少做几次实验才能符合老师的要求。（假设各次实验互不影响）,2、正态分布(normal distribution ) 当X是连续型随机变量时，不可能象离散型随机变量那样列出X取各个值的概率。我们只能计算X落入

12、某个区间内的概率。即： 当X为离散型随机变量 可以计算P(X=a), P(X=b). 当X为连续型随机变量 只能计算P(Xa),或P(aXb) X连续时以曲线下面的面积表示概率。 X在a与b之间的概率为: 式中f(x)称作随机变量X的概率密度函数。,则称X服从正态分布,记作X-N(,2),为随机变量X的均值; 为随机变量X的标准差; 为圆周率3.14159; e为自然对数的底2.71828.,正态分布的概率密度曲线,如果随机变量X的概率密度是:,和 是正态分布的两个参数， 和 变化则正态分布的型态也随之变化。,当对X进行Z转换后，正态分布就被转换为标准正态分布了。标准正态分布=0， =1,正态

13、分布,标准正态分布,标准正态分布表 利用积分公式可求出正态曲线下任何区间的面积，但需要计算，非常麻烦。 统计学家已编制好了标准正态分布表，使其使用非常方便。,例：XN(0,1)，求以下概率 1)P(0-1),例 XN(5,102) 求概率 (1) P(58),解: (1),0.0478,正态分布,.1664,.0832,.0832,标准正态分布,(2),正态分布,标准正态分布,.1179,.5000,.3821,(3),例 在某年高考的平均分数为500，标准差为100的正态总体中，某考生得到650分。设当年高考录取率为10，问该生成绩能否上线？,解：该生的标准分数为 Z(650-500)/100=1.5 查正态分布表, 当Z=1.5时，p=0.433 从低分到高分的顺序中他处于93.3%的位置,3、二项分布的正态近似 二项分布当n较大时，直接计算概率相当麻烦。德.莫弗尔（De Moivre）和拉普拉斯(Laplace )证明了n 趋于无穷时二项分布是以正态分布为极限分布的。因此 n 较大时可以用正态分布来近似计算二项分布的概率。 中心极限