2.4抛物线的简单几何性质课件（苏教版选修2-1）.ppt

1、抛物线的几何性质,第一课时,2020年10月11日星期日,平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点不在定直线上)。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,复习,练习,平面上的动点 P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.,准线方程,焦点坐标,标准方程,焦点位置,图 形,四种抛物线及其它们的标准方程,x轴的 正半轴上,x轴的 负半轴上,y轴的 正半轴上,y轴的 负半轴上,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,F(-,-,-,-,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:

2、(1)范围 (2)对称性 (3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,(4)离心率 (5)焦半径 (6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P

3、越大,开口越开阔,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论,2.过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.,16,3、已知AB是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1）、B（x

4、2，y2）,1）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。,2）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相切。,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,拓展： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交

5、这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,AB AFBF ADBC =2EH,等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积为 A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2,1、已知抛物线的顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那 么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛 物线 上，其中一个顶

6、点为坐标 原点，则这个三角形的面积为 。,例2、已知直线l：x=2p与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 =1， =-1 因此OAOB,推广1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 =2px(p0)交于A、B两点，求证：OAOB.,证明：设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p,直线l过定点(2p,0),推广2： 若直线l与抛物线y2 =2px(p0)交于A、B两点，且OAOB ，则_,验证：由 得 所以直线l的方程为 即 而因为OAOB ，可知 推出 ，代入 得到直线l 的方程为 所以直线过定点（2p,0).,高考链接：过定点Q（2p,0)的直线与y2 = 2px（p0）交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,讨论题：,1 若抛物线y