函数的凹凸性在高考中的应用

1、1、凹凸函数定义及几何特征引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数与都是增函数。但是与递增方式不同。不同在哪儿？把形如的增长方式的函数称为凹函数，而形如的增长方式的函数称为凸函数。凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编高等数学第201页）：设函数为定义在区间上的函数，若对（a，b）上任意两点、，恒有：（1），则称为（a，b）上的凹函数；（2），则称为（a，b）上的凸函数。凹凸函数的几何特征：几何特征1（形状特征）图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设是凹函数y=曲线上两点，它们对应的横坐标，则，过点作轴的垂线交函数于A，交于B， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之

2、间的部分位于弦的下方;凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。简记为：形状凹下凸上。几何特征2（切线斜率特征） 图6（凹函数） 图7（凸函数）设是函数y=曲线上两点，函数曲线与之间任一点A处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而减小；简记为：斜率凹增凸减。几何特征3（增量特征）图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数）设函数（）为凹函数，函数（）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数（）的相应增量，越来越大；函数（）的

3、相应增量，越来越小；由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量（1，2，3，）凹函数的增量特征是：越来越大；凸函数的增量特征是：越来越小；简记为：增量凹大凸小。弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题函数凹凸性的应用应用1 凹凸曲线问题的求法下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题题目：一高为、满缸水量为的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为时水的体积为，则函数（）的大致图象可能是图13中的（） 图12 图13解：据四个选项提供的信息（从），我们可将水“流出”设想成“流入”，

4、这样，每当增加一个单位增量时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故关于的函数图象是先凹后凸的，因此，选A BC D例3（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是（ ） 图17解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=-sin由于是直线，每当增加一个单位增量，的对应增量不变；而sin是正弦曲线，在0，上是凸的，在，2上是凹的，故每当增加一个单位增量时，对应的增量（=1，2，3，）在0，上越来越小，在，2上是越来越大，故当增加一个单位增量时，对应的f(x)的变化，在0，上其增量f(x)（1，2，3，）越来越大，在，2上，其增量f(x)则越来越小，故f(x)关于的函数图象，开始时在0，上是凹的，后来在，2上是凸的，故选D 应用2 凹凸函数问题的求法例1、(2005湖北卷) 在y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x这四个函数中,当0x1x21时, 恒成立的函数的个数是( ).A.0 B.1 C.2 D.3分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2I,且x10； . 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 （） 。本题把对数的运算（）、