8概率论与数理统计.ppt

1、1,概率论与数理统计,(八)开始 王柱 2013.03.27,2,定义:随机试验E,样本空间 =e, (,A,P) 为概率空间,对于中的每个 e,都有二个实数X(e),Y(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实向量 (X ,Y)=(X(e), Y(e) ， 如果对于任意的实数 x,y ,X x Y y都是属 于A 中的事件。称为二维随机向量或二维随机变量。,第三章 多维随机变量及其分布,* 3.1 二维随机变量,3,F(x , y) = P (X x ) (Y y ) = P( X x , Y y ) 称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数。 或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函

2、数。,它表示随机点 (X,Y) 落在 点 (x,y) 左下方 的 无穷矩形域 内的 概率。,(X,Y)为一个二维随机变量 , 对任意实数 x , y , 二元 函数,4,分布函数 F(x,y ) 的性质:,10 F(x,y )是变量 x 和 y 的不减函数。,20 0 F(x ,y) 1,且 对于任意固定的 y, F(- , y) =0, 对于任意固定的 x, F(x, - ) =0, F(- , - ) =0, F(, ) = 1。,30 F(x+0,y )= F(x ,y)， F(x, y +0)= F(x ,y)， 即F(x,y )关于x是右连续的,关于y也是右连续的。,40 对于任意的

3、(x1,y1),(x2,y2), x1 x2 ,y1 y2,不等式 F(x2,y2 )- F(x2,y1 )- F(x1,y2 )+F(x1,y1 ) 0都成立。,5,* 如果二维随机变量所有可能的取值最多是可列无穷对,则称 (X ,Y) 是离散型的随机变量。,设二维离散随机变量(X ,Y)所有可能取的值为 (xi yj ),(i,j=1,2,),取相应可能值的概率为 pij =P(X=xi Y=yj) ,(i,j=1,2,),则有:,6,二维离散型随机变量的分布函数具有如下形式:,F(x ,y)=PX x ,Y y为台阶型函数, 跳跃点在(xi, yj)处,跃度为 pij 。,7,则称 (X

4、,Y) 为连续型的二维随机变量, 其中 f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。,定义:二维随机变量(X,Y)分布函数F(x, y), 若存在非负函数 f(x,y) , 对于任意实数 x , y 有,8,概率密度 f(x,y) 的性质:,10 f(x,y)是一个非负函数。,40 设 G 是 xOy 平面上的一个区域,点落在 G 内的概率为,30 若f(x,y)在点 x,y 处连续，则有,20 f(x,y)在全空间上的积分为1。,9,定义:二维随机变量 (X,Y) 作为一个整体,具有分布函数 F(x,y ).而X 和 Y作为随机变量,个别也

5、具有分布函数分别记为 FX(x), FY(y), 依次称为二维随机变量 (X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布函数。,* 边缘分布,边缘分布函数可以由 (X,Y) 的分布函数 F(x,y )来确定。,FX(x) = PX x = PX x,Y = F(x, ), F(x,y ) 中令 y 即可, FX(x) = F(x, ), FY(y) = F(,y ),10,* 对二维离散型随机变量有:,于是, (X,Y)关于X 的边缘分布律为:,(X,Y)关于Y的边缘分布律为:,11,连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y) ,由,知, X 是连续型随机变量,其概率密度函数fX(x)为,同

6、样, Y 是连续型随机变量,其概率密度函数fY(y)为,fX(x), fY(y)依次称为 (X,Y)关于X 和关于Y的 边缘概率密度。,12,例3.3.2.二维正态分布,若,二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为,其中1, 2, 1(0), 2(0),-1 1为常数,称(X,Y)服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布,记为N (1, 2, 12, 22, ),例8-1-1.,13,二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为,其中1=2 =0, 1=2, 2=1.5,=0.5,14,15,16,由此, 参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布的 两个边缘分布都是一维正态分布

7、,并且都不依赖 参数 ,亦即对于给定的 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同的二维正态分布,但它们的两个边缘 分布都是一样的。这说明,单由关于X 和关于Y 的两个边缘分布,是不能确定随机变量 X 和 Y 的 联合分布.,17,* 3.4 相互独立的随机变量,定义3.4.1 : F(x,y) ,FX(x), FY(y)为二维随机变量 (X,Y)的 分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有,即,则称随机变量X和Y是相互独立的,18,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率密度及边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价

8、于“几乎处处成立”（在f(x,y)的所有连续点处）,19,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互独立 的条件等价于,对所有可能的取值(xi yj )有 P(X=xi ,Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj) ,(i,j=1,2,),即:,20,*例3.4.2 二维正态分布N (1, 2, 12, 22, ),其概率密度函数为,其中1, 2, 1(0), 2(0),-1 1为常数.,例8-1-2.,21,22, =0可以得到,相互独立.,23,反之,相互独立.,可以得到,在连续点（ x= 1, y= 2），,进一步得到 =0。,24,由此, 参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分

9、布的两个边缘 分布都是一维正态分布,并且都不依赖参数 。亦即对于给 定的 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同的二维正态分布, 但它们的两个边缘分布却是一样的。这说明,单由关于X 和 关于Y的两个边缘分布,是不能确定随机变量 X 和 Y 的 联合分布.,现在又有， 参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布 X 和 Y 相互独立的充要条件是 = 0。,25,例3.4.3 .负责人到达办公室的时间均匀分布在8-12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7-9时, 设 他们两人到达的时间相互独立.求他们两人到 达的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.,解.由题意,例8-2.,26,

10、所求概率为,27,(一)离散型二维随机变量的(X,Y)条件分布,其分布律为: (X,Y)取可能值(xi yj )的概率为 pij =P(X=xi Y=yj) ,(i,j=1,2,),* 3.3 条件分布,(X,Y)关于X 和关于Y的边缘分布律为:,28,设, pi . 0 , p. j 0 , 考虑在事件 Y=yj 已发生的 条件下事件X=xi 发生的概率,即研究事件 X=xi|Y=yj , i=1,2, 的概率.由条件概率公式可得,可以验证其为分布律.(非负,总和为1).,29,(X,Y)是离散型二维随机变量,对于固定的j,若 PY=yj0,则称,于是有定义3.3.1 :,为在 Y=yj 条

11、件下随机变量X的条件分布律。,同样，对于固定的i,若PX=xi0,为在 X=xi 条件下随机变量Y的条件分布律。,30,以前得到的(X,Y)的分布律及各边缘分布律可用表格表示为,例3.3.1 : 前例中当 X 取值一定时 Y 的条件分布律。,（1）以放回方式取球时，,解：,例8-3.,31,32,（2）以不放回方式取球时，同上方法可得(X,Y)的分布律及各边缘分布律见表,33,但是在以不放回方式取球时，有 。因此，X 与 Y 不相互独立。,例3.4.1 :前例中随机变量 X 和 Y ，在以放回方式取球时，有 。因此，X 与 Y 相互独立。,例8-4.,34,例1:,设：射手中靶概率为p。击中两

12、次为止。以X表示首次击中所用的射击次数，以Y表示总共所用的射击次数。求X和Y的联合分布律及条件分布律。,解：对任 1=mn (m、n 为击中的两次） PX=m,Y=n=p2qn-2, n=2,3,;m=1,n-1。,例8-5.,35,进而，对任 n =2,3,时,对任 m =1,2,时,m =1,2,n-1,n=m+1,m+2,36,（二）连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y), 概率密度函数为f(x,y) ,若在点(x,y)处f(x,y)连续, 边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)0,则有如下,为在条件 Y=y 下 X 的条件分布函数。,定义3.3.3 :称,37,定义3.

13、3.2 称,为在条件 Y=y 下 X 的条件概率密度。,38,类似地可以定义, 在条件 X=x 下 Y 的条件分布函数FY|X(y|x)和条件概率密度fY|X(y|x)为,39,由此定义可知，和其他概率密度一样，条件概率密度fY|X(y|x) 也满足如下两个基本条件：,40,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率密度及边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价于“几乎处处成立” （在f(x,y)的所有连续点处）,也等价于“几乎处处成立” （在f(x,y)的所有连续点处）,41,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互

14、独立 的条件等价于,对所有可能的取值(xi yj )有 P(X=xi ,Y=yj) = P(X=xi) P(Y=yj) ,(i,j=1,2,),即:,或:,42,*例3.3.2 二维正态分布N (1, 2, 12, 22, ),其概率密度函数为,其中1, 2, 1(0), 2(0),-1 1为常数.,例8-6.,43,前已得到,于是，对固定的 ，有,因此，二维正态分布的条件分布为一维正态分布,44,例3.3.3 ：X在区间(0,1)上随机地取值,看到X=x,(0x1) 后,Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度 fY(y).,解:按题意,条件概率密度为,联合概率密度为,Y的概率密度为,演示11！,例8-7.,45,例2.二维均匀分布,定义：G为平面上的有界区域,面积为A.若(X,Y)的概率密度为,则称此 (X ,Y)在G上服从均匀分布