公开课2412垂直于弦的直径

1、24.1.2 垂径定理,九年级数学组,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,学习目标,1、理解圆的轴对称性； 2、掌握垂径定理及其推论； 3、能用垂径定理进行简单的计算。,认真阅读课本P81-82内容，会解决下列问题： 1、什么是垂径定理？它的题设和结论分别是什么？ 如何用符号表示？课本中是怎样证明的？ 2、垂径定理的推论是什么？你会证明吗？ 3、看例题，先做再对照：怎样

2、添加辅助线求半径R？ （若有困难，同伴交流）,学法指导,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,说理,叠 合 法,证明：连结OA、OB，则OAOB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是 O的对称轴。 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，弧AC、弧AD分别和弧BC、弧BD重合。 因此 AEBE，ACBC，ADBD,垂径定

3、理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,C,垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。,推论（1）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.,（2）弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理,记忆,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分

4、弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个量中的已知任何两个量都可推出其他三个量。,注意,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,AB=37.4，CD=7.2，,O

5、D=OCCD=R7.2,在图中,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。,讲解,例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,讲解,讲解,结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等,小结