直线的参数方程及其应用举例

1、.直线的参数方程及应用问题 1：（直线由点和方向确定）求经过点0, y0 )，倾斜角为的直线 l 的参数方程 .P ( x0设点 P(x , y，y)是直线 l 上任意一点 （规定向上的方向为直线 L 的正方向） 过点 P 作 y 轴的平行线，过0P0 作 x 轴的平行线，两条直线相交于PQ 点 .001)当 P0 P 与直线 l 同方向或 P 和 P 重合时，lP( x , y )QxP0P| P0P|则 P0Q P0PcosQ PP0Psinl2)当 P0 P 与直线 l 反方向时， P0P、P0Q、Q P 同时改变符号0P P | P P|P QP PcosQ P P Psin仍成立Py

2、00000设 P0 ，t为参数，P tP( x , y )又 P0Q xx0 ，xx0 tcosQxQ P yy0yy0 =t sin0即 xx0t cos是所求的直线 l 的参数方程yy0t sinP0P t，t 为参数， t 的几何意义是： 有向直线 l 上从已知点 P0( x0 , y0 )到点 P( x , y )的有向线段的数量，且 | P0P| |t|当 t0 时，点 P 在点 P0 的上方；当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t0 时，点 P 在点 P0的右侧；l当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t0 时，点 P 在点 P0的左侧；0问题 2：直线 l 上的

3、点与对应的 参数 t 是不是一对应关系？我们把直线 l 看作是实数轴，以直线 l 向上的方向为正方向，以定点 P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数 t 便和这条实数轴上的点 P 建立了一一对应关系 .P0P( x , y )xylP0Px0问题 3： P1、2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、2，Pt则 P P ？， P P =？1212P1P2P1P0 P0P2 t1 t2 t2 t1， P1P2= t2 t1.问题 4：若 P为直线 l 上两点 P 、P 的中点， P 、P 所对应的01212参数分别为 t1、t2，则 t1、t2 之间有何关系？l根据直线 l 参数方程

4、t的几何意义，y2PP Pt，P Pt ， P 为直线 l11220P上两点 P1、 P2 的中点， | P1P| | P2P|0xP12，即t1212PPP Pt ,tt 01一般地，若 P 、 P 、P 是直线 l 上的点，0123、t，P 为 P 、 P 的中点所对应的参数分别为 t、t123312则 tt1t2（ P P P P , 根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，321323 P1P3= t3t 1, P2P3= t 3t 2, t3t1= (t 3t 2,) ）总结：1、直线参数方程的标准式的直线 l 的参数方程是(1)过点 P ( x0 , y0 )，倾斜角为0xx0t

5、cos（t 为参数） t 的几何意义： t 表示有向线段P0 P 的数量， P( x , y )yy0t sinP P =tP P=t为直线上任意一点 .00(2)若 P1、P2 是直线上两点，所对应的参数分别为 t1、 t2，则 P P =t t1 P P =t t 1221221、(3)若 P1、 2、 3 是直线上的点，所对应的参数分别为t123PPttt1 t2, P0P3=t1t 2则 P1P2 中点 P3 的参数为 t322(4)若 P0 为 P1P2 的中点，则 t 1t 2 0， t1 t2 0, 设这个二次方程的两个根为 t1、2 由韦达定理得t1t2 15,1 2 25，由

6、M为线段AB的中点，t ,8t t4根据 t 的几何意义，得 | PM| t1t2 15216中点 M 所对应的参数为 t M = 15 ,将此值代入直线的标准参数方程* ，16M 点的坐标为 x 231541M （ 41 ， 3 ）5? 1616即4153164y?4516(3)|AB| t 2t 1(t1t 2 ) 24t 1 t 2 5738点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数 t 的几何意义， 在解决诸如直线 l 上两点间的距离、 直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时， 比用直线 l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷 .例 7：已知直线 l 经过点 P（ 1,33 ）

7、, 倾斜角为，3(1)求直线 l 与直线 l ： yx23 的交点 Q 与 P 点的距离 | PQ| ；.(2)求直线 l 和圆 x2y 2 16 的两个交点 A ，B 与 P 点的距离之积 .解： (1)直线 l 经过点 P（1,33 ）, 倾斜角为,直线 l 的标准参数方3程为x1t cos3，即x11 t（t 为参数）代入直线 l ：2y33 t sin3y333 t2y x2 3得 (11 t )( 3 33 t ) 2 30整理，解得 t=4+2 322t=4+23 即为直线 l 与直线 l的交点 Q 所对应的参数值，根据参数 t 的几何意义可知： | t| =|PQ|,|PQ|=

8、4+23 .(2)把直线 l 的标准参数方程为x 1 1 t（ t 为参数）代入圆的方程2y333t2x 2y2 16，得 (11 t )2(3 33 t) 216 ,整理得： t2 8t+12=0，222 -4 120, 设此二次方程的两个根为t1、2则1 2=8tt t =12根据参数 t 的几何意义， t1、 t2分别为直线和圆 x 2y2 16 的两个交点A, B 所对应的参数值，则 | t1| =|PA|,|t2| =|PB|,所以 |PA| |PB| =| t1 t2|=12点拨： 利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方

9、程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便 .例 8：设抛物线过两点A( 1,6)和 B( 1,2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是4 10 ，求抛物线方程 .解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（ a ，2）方程为 (y2) 2=2P(x a ) (P0)点 B(1, 2)在抛物线上， ( 2 2) 2=2P(1 a )a P= 8 P代入 得(y 2) 2=2Px 2P+16将直线方程 y=2 x +7 化为标准的参数方程 tg=2,为锐角，= 1 , sin= 2x11tcos得5 （ t 为参数

10、）55y52t5直线与抛物线相交于 A，B, 将代入并化简得：4 t 212 2P t 7 0 ，由= 4( P6) 2350, 可设方程的两根为 t1、t2，555又 |AB|= t 2 t 1(t1 t2 )24t1t 2 4 10. 5 (12 2P) 2435 =( 4 10 ) 2化简，得 (6 P)2=10044 P=16 或 P=-4( 舍去 ) 所求的抛物线方程为 (y 2) 2=32x 48点拨： (1)（对称性） 由两点 A( 1,6) 和 B( 1, 2) 的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长 AB的值求得 P）.(2) 利用直线标准参

11、数方程解决弦长问题 . 此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些 .例 9：已知椭圆 (x1) 2y 21，AB 是通过左焦点 F1 的弦， F2 为右焦点，4 3求 | F2A| | F2B| 的最大值 .解：由椭圆方程知a 2，b=3 ,c=1,F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为xt cos （t 为参数）代入椭圆方程整理得yt sin（3sin2）t2 6 t cos 9=0，=36cos2（ 2）036 3sin此方程的解为 t1、t2，分别为 A 、 B 两点对应的参数，由韦达定理t126 cos1t29

12、t =3sin 2t3sin 2根据参数 t 的几何意义， t 、 t2分别为过点 F的直线和椭圆的两个交点11A, B 所对应的参数值， |F1A| | t1| F1B| | t2 |AB|= t 2 t 1(t1t2 )24t1 t 2312| F1A| | F1B| | t1| | t2|=|t1t2|sin 24， | F B|+|F B|=2 4由椭圆的第一定义 | F A| |F A| 2aa| F A| |F B|=(4-|12F12F A|)(4-|B|)=16-4|AB|+|F A| | F B|221111=16-42112|=16-412+9 t t +| tt3sin

13、2sin 2393=16-sin 232522 |2当 sin1 时， | F A|F B| 有最大值4点拨： 求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解题，此题中两定点1(0,0),F2(2,0),显然 F1 坐标简单，因此选择过 F1F的直线的参数方程， 利用椭圆的定义将 | F2A| | F2B|转化为 | F1A| |F 1B|.方法总结： 利用直线 l 的参数方程xx0t cos（ t 为参数），给研究直线yy0t sin与圆锥曲线 C： F( x, y )=0 的位置关系提供了简便的方法 .一般地，把 l 的参数方程代入圆锥曲线C：F( x, y )=0 后，可得

14、一个关于 t 的.一元二次方程， f (t ) =0,1、 (1)当 0 时，l 与 C 相交有两个交点；2、当0 时，方程 f (t ) =0 的两个根分别记为 t1、 t2，把 t1、 t2 分别代入 l 的参数方程即可求的 l 与 C 的两个交点 A 和 B 的坐标 .3、定点 P0( x0 , y0 )是弦 AB 中点t1+t2=0tt；弦 AB 中点 M4、 l 被 C 截得的弦 AB 的长 |AB| | t t | ；P A P B=120012点对应的参数为t1t20t1t22； | P M |=2基础知识测试2：7、 直线x1t(t 为参数 )与椭圆 x22 y 28交于 A、B 两点，则 |AB| 等于 ( )y2tA 22B43D6C 2338、直线xx0t cos（ t 为参数）与二次曲线A、 B 两点，则 |AB| 等于 ( )yy0t sinA |t1+t2 | B |t1| | t2|C |t