数学实验第二章.ppt

1、第二章 方程求解,本章的主要内容,1、迭代算法及编程,2、迭代算法的问题及改进,3、迭代算法的MATLAB实现,4、与解方程相关的数学建模,2010-10-21,2.1 导 言,若干世纪以来,工程师和数学家花了大量的时间用于求解方程(组),研究了各种各样的方程求解方法，这一讨论和求解推动了数学学科和科学技术的发展。 本章主要目的是介绍方程求解的实用方法，利用现代计算技术和计算机的综合优势求出符合精度要求的那些解。,2.2 引例：求方程 的非负实根,构造函数 。由于连续，并且在 和 处函数值符号相反，可知 f(x) 在区间（0，1）内 必有零点，也就是方程 在(0,1)内必然存在根。 进一步，以

2、方程 的两边绘出函数图像：,root,取一个根的估计值,代入方程两边，考察两边的接近程度，验证这个估计值是否为方程的根。 猜测x=0，代入方程右边为1/3，左右差为0.3333； 再取右边表达式的值1/3作为新的估计值, 代入方程右边，左边为1/3，右边为0.4652,左右差为0.1319 。 再取右边表达式的值0.4652作为新的x估计值, 代入方程右边，左边为0.4652，右边为0.5308,左右差为0.0656；如果，不断地用上一次右边表达式 ex/3 的值作为方程根的近似值，而方程两边不断接近，那么，就可以考虑用迭代的方法来求解。,参照：,参照：,x,在计算机中，从当前的问题出发，我们

3、只需根据前一项算出后一项，然后计算两项之差，并与精度要求比较即可。因此，只设置一个变量,首先，x = 前一项 ；然后，利用 x 算出后一项,从数学角度来看，由方程可以给出一个递推数列,如果数列收敛（或前后两项无限接近！），则有,即极限值就是方程的根,x,如果,x -,的绝对值小于10(-5),前项,后项,则可把 看成是 root 的近似值；,x =,如果,x -,的绝对值=10(-5),前项,后项,则重新赋值,重复上述过程。,ex/3,ex/3,ex/3,第二个根，可用 x = log(3*x) . 一般地，应考虑,的反函数,由表2.1中结果可知：随着迭代次数的增加，方程左右两边的差距在不断缩

4、小， 到第9次，小数点后前二位有效数字相同，继续下去，可以得到方程满足精度 要求的近似根。,1）例中：如果近似根的精度要求为小数点后10位有效数值，它是多少？ 2）迭代初始值xo分别取不同值，例如 0，1，2，迭代结果有何区别？ 3）方程的非负实根是否唯一？如果不止一个如何求出其他根？ 以后，可通过理论分析、或画图来确定其他根的大致位置，然后通过 迭代法尝试求解。,想,2.3 方程和方程组 方程和方程组都有线性和非线性之分,其中单个的线性方程太简单了,这里 略去,下面我们从线性方程组开始.,编程回答,2.3.1 线性方程组 线性方程组,可以写成矩阵的形式,由线性代数知识可知,关于其解的理论如下

5、. 解可能出现三种情形：无解、有唯一解和有无穷多组解。这主要取决于系数矩阵A的秩与增广矩阵（A | b)的秩是否相等；当两个秩相等时，与变量个数的关系，具体地：,若 则 无解,为变量个数) 则,有唯一一组解,若,若,则,有无穷多组解,求解方法可以划分为两类： 直接消去方法（这主要是指高斯消去法） 迭代数值解法。 关于线性方程组的消去法和迭代算法，简介如下：,1）直接消去法 理论上，经过有限次算术运算能够求出方程组的精确解，实 际上由于计算存在舍入误差，得到的只是近似解。 高斯消去法可以用LU分解来表示，如果方程组的系数矩阵A满足一定条 件，则A可以分解为一个下三角阵L与一个上三角阵U的乘积,A

6、=LU,于是由 得到,由于上三角阵与下三角阵的逆矩阵很容易求得，因此，这是一种很好的思想。,例如,A=,0 1 2 2 1 0 3,=,0 0 2 1 0 1 0 1,0 1 0 2 0 0 0 2,2）迭代法 常用的有雅比迭代法和高斯-塞德尔迭代法等。 将 同解的变形为,可以证明：在B满足谱半径 ，当 时， 收 敛，其极限 就是原方程组的解。,x0,bx+f,x* 使得x*b x* +f,谱半径: 矩阵A，其各个特征值的最大绝对值称为A的谱半径,取根的估计值，代入上式左右两端，考察左右两端是否相等、接近程度是 否符合精度要求。如果不符合要求，则将bx+f 的值作为新的“根”估计值，又代 入上

7、式左右两端进行比较。这一往复的过程可以简化为迭代公式,变量x,例如,雅可比迭代法：由 得到,其中,高斯-塞德尔迭代法：将上述矩阵分解的迭代公式写成：,其中,设A矩阵可分解为 A=L+D+U 其中 D为对角矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵,用两种不同的迭代算法求解以下线性方程组，以w=1 1.025 1.05 1.075作为 方程解的初始估计值,5 -1 0 0,-1 5 -1 0,0 -1 5 -1,0 0 -1 5,x1,x2,x3,x4,4.3,3.8,3.1,4.9,=,做,2.3.2 非线性方程 从中学到大学,对数学课程来讲,解方程可以说是经常接触的事情. 早在19世纪初,伽罗瓦等

8、人就已证明了高于四次的代数方程不存在类似于二次方程的求根公式,因此,在数学的教科书上,只介绍了一些特殊的代数方程的解法.我们今天针对一般非线性方程.提出一套行之有效的求解方法。,考虑一般方程 可能难以甚至根本无法找到其精确解, 因此我们只好去找近似解,但应该有一定的精度要求,本节的目的就在于探讨 能够求解任意一个方程全部根或者指定范围的部分近似根的方法.,做,1)对于方程tanx=x，用迭代算法求其非负实数根。 这个形式 x=tanx 本身就给出了一个迭代公式，还可以考虑不同的迭代公式。因为 tan(x)=sin(2*x)/(1+cos(2*x) ，所以有迭代公式 x= sin(2*x)/(1

9、+cos(2*x),编程 x=1 ; % 根的初始估计值，弧度值 n=0 ; % 记录迭代次数 while abs(x-tan(x)10(-5) x=tan(x); n=n+1; end x,n,2)想办法用其他方法求解tanx=x,如几何的方法,并对所得到的结果进行 分析 . 3) 考虑解方程 (显然无根) 。同解地变形为 x=x+exp(-(tan(x)2) 以此为迭代公式编程，可求出根(增根)。,对以上三个小题的讨论可以发现,用迭代方法求解方程,在方程有根的情况下,迭代算法可能找得到根；也可能找不到根；而在方程无解的情况下,可能找出了 增根。因此，对于方程求解,常常需要结合具体方程(函数

10、)的性质,从分析的和数值的乃至几何图形的角度上加以考虑，需要多种不同方法。,对于方程 f(x)=0 的求解，首先可以经过简单变形把它表达为 x=g(x) 例如 x=x+f(x) 记g(x)=x+f(x) 则求解 f(x)=0 就等于求解 x=g(x) ，也就是求函数g(x) 的不动点。因此，可以尝试用迭代的方法来解决，称此法为方程求解的不动点法。其迭代过程如下： xn+1=g(xn) ,n=0,1,其中x0为迭代初值，通常应取为不动点的估计值。,2.3.3 一般的迭代算法,下例可以说明不同的迭代公式产生不同的迭代结果,例2.1 用迭代方法求解方程,解 第一步 同解地构造迭代公式。对方程,可以给

11、出多个同解的变形，如,它们的迭代效果是不同的，比如 x =1作为初始值。,即，求一个 x 使得 abs(x3-x2-x-1) 工程设计所要求的 很小的正数,第二步 选择迭代初值 x=1 ，对以上三个公式分别进行迭代， 和 的迭代结果如下表。可以看到它们是收敛的，极限近似为1.8393.,表2.2 迭代产生的数列 ，初值,序号n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.4422 1.6537 1.7532 1.7995 1.8209 1.8308 1.8354 1.8375 1.8385 3.0000 1.4444 2.1716 1.6725 1.9554 1.7730 1.8822 1.813

12、6 1.8554,通过改变初值，比如 或 ，以及其他的诸多初值， 和 的迭代结果都显示出良好的收敛性，在迭代到第23次以后，结果几乎 都为1.8393 . 而 的迭代结果始终令人失望地无限增大。,编程 x=1; n=0; while abs (x3-x2-x-1)10(-5) x=x3-x2-1; n=n+1; if abs (x3-x2-x-1) 9999 break end end x,n,结果：仅迭代 10 次，x= - inf ，迭代失败,由此可知，迭代公式的选取是很重要的。,关于第一个迭代公式 的编程,第三步 迭代失败的改进：加速迭代收敛方法。 设采用迭代公式 x = 失败。考虑 与

13、x的加权平均,进行迭代， 为参数。,x,h(x),取值为介于0、1之间的数, h(x)介于 x、,=0.5,的选择应有利于加速迭代。,之间.,数学工作者通过对大量成功和失败的迭代案例进行分析，认识到,在满足条件 下，取 ，可以取得一个合适的,这个条件的意义：在a附近，h(x)的变化较小(详见“数值分析”教材)考虑到a是未知的，在实际迭代过程中采用xn代替a,因此得迭代公式,对于,进行改进，产生新的迭代公式,加速迭代公式如下,表2.3迭代函数 产生的数列,序号n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 初值 0 -1.0000 -0.5000 0.6667 -1.1481 -0.6371 0.051

14、6 -0.9109 -0.4051 2.3240 初值100 6.8136 4.7110 3.3461 2.4996 2.0390 1.8658 1.8399 1.8393 1.8393,% 改进后的迭代法编程 x=1; % 迭代初值 n=0; % 记录迭代次数 while abs(x3-x2-x-1 )10(-5) % 迭代条件 x= (-2*x3+x2-1)/(-3*x2+2*x+1); n=n+1; end x % 数值解 n % 迭代次数,运行的结果： x =1.8393 n =13,a,b,2)点的迭代法 迭代法是构造与方程 等价的方程 得到迭代函数 然后求迭代函数 的不动点.注意到

15、 形式不唯一,其 迭代差异可能很大.如何构造函数 ,能保证迭代算法的收敛性?对此,有如 下结论,定理 设 在a,b,上连续,且满足,A) 对任意的,B) 存在常数 使得对于任意的,则对任意初值 ,迭代过程 产生的序列 收敛在 上的不动点.,解释一下定理的几何意义 由 A) 在方框内,由 B）可以推出 即 曲线上任意两点的割线斜 率，其绝对值不大于1。显然，这是一个很强的充分条件,返回,a,b,通过上例可知，求解方程的迭代函数构造形成多样，不同迭代函数的收敛 性及对初值的敏感性可能千差万别。因此在选择迭代函数 及初值上， 值得我们多多注意。在遇到迭代失败的时候，可以利用如上介绍的加速迭代 收敛方

16、法加以解决。,1）方程 有多个实根？能否将其全部找 出来，用什么方法？随后介绍的图解法 2）以 和 为例，考察对于迭代收敛的情况，以上加 速迭代收敛方法是否能够起到加速收敛的作用？给出充分体现加速 迭代的例子（迭代函数）。,想,以上分析可以引进到求解方程组的情形。,2.3.4方程求根系列方法,考虑求方程 的解。 1. 熟知的因式分解法 因式分解是我们常用的方法。它的基本原理是：如果 则必有 或 。这 个方法的关键在于分解因式，包括对多项式函数，三角函数 和指数函数等分解。,例2.2 求解以下方程,1）,2）,解 1）通分得 解 ，分 解因式得 ，解出,分解因式得 ,因 ,所 以 ,这等价于 ,

17、即 ,得到其根为,2.图形放大法 由于计算机的广泛应用,可以非常方便地作出函数 的图形(曲线). 找出曲线与x轴的交点的横坐标值,就可求出 的近似根,即 的零 点.这些值虽然粗糙但直观,方程有多少个根、在何范围，一目了然。并且还 可以借助于使用图形局部放大功能，将根定位得更加准确。因此如果你拥 有一台计算机，那么图形的方法将是分析方程求根的性态最简捷的方法。 不过，不要总是想要得到根的精确值。,例2.3 求方程 所有的根及大致分布范围。,x=linspace(-1.54375, -1. 54365, 100);y=x.5+2*x.2+4; plot(x,y),通过观察，不断提高精度,用图形放大

18、法求方程 的根。注意观察结果。它有多少个根？ 将上式变形为 ，可以画出两条函数曲线 与 ，两条曲线的交点的横坐标x就是原方程的根。,做,提示,3. 数值迭代逼近法,利用图形的方法或连续函数的零点存在性定理，可以推知 在某 一区间内有根，下面就基于此来讨论求根的数值方法。,关于区间的迭代有对分法、黄金分割法等，关于点迭代有简单迭代法、单 点割线、两点割线法以及使用导数值的牛顿法等等。,x=0.1*pi:pi/100:4*pi; y1=sin(x); y2=1./x; plot(x,y1,r,x,y2,g),1）区间迭代法 对分法是应用零点存在性定理，每次将区间压缩一半且其中一个区间至少包含一个根

19、，逐步缩短区间，直至最终区间长度满足一定的精度要求为止。,黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为0.618(黄金分割比例）。,例如： 解方程 exp(x)-8*sqrt(x-1)=log(x2) 其中 x 属于1 ，2。 令f(x)= exp(x)-8*sqrt(x-1)-log(x2) ，有f(1)0，f(2)0,a=1; b=2; while b-a10(-5) if exp( (a+b)/2)-8*sqrt( (a+b)/2 -1)-log(a+b)/2) 2) 0 a= (a+b)/2; else sprintf(%f%s, (a+b)/2 ,是

20、一个根) end end sprintf(%f%s, (a+b)/2 ,是一个精确到万分位的根),2)点的迭代法 简单迭代法是基于构造与方程 等价的方程 得到迭代函数 然后求迭代函数 的不动点.注意到 形式不唯一,其 迭代差异可能很大.如何构造函数 ,能保证迭代算法的收敛性?对此,有如 下结论,定理 设 在a,b,上连续,且满足,A) 对任意的,B) 存在常数 使得对于任意的,则对任意初值 ,迭代过程 产生的序列 收敛在 上的不动点.,解释一下定理的几何意义 由 A) 在方框内,a,b,下面几个迭代方法是根据 的几何性质与解析性质,从不同角度构造 出的迭代公式,单点割线法是给定初值x0(点p0

21、)及当前值xn(点pn),将曲线y=f(x)上当前点和初 始点构成的割线(代替曲线)与x轴的交点的横坐标,作为本次迭代的输出 也为下次迭代的输入.其迭代公式为,由 B）可以推出 即任意两点的割线斜率，其绝对值 不大于1显然，这是一个很强的充分条件,这个公式来源于,两点割线法 是给定初值x0及x1(两个点p0,p1),将曲线上最新的相邻(按迭代先后为序)两点的割线(代替曲线)与x轴的交点的横坐标,作为迭代输出.其迭代公式如下,x0,x1,x2,x0,x1,x2,两点割线法的程序示例：求方程 x4+x3-x2-2=0 的根 1、作图观察根的大致范围 x=-2:0.1:2; y=x.4+x.3-x.

22、2-2; plot(x,y),2、 编程计算近似根,x0=1; y0=x04+x03-x02-2; x1=1.5; y1=x14+x13-x12-2; x2=x1-(y1/(y1-y0)*(x1-x0); n=0; while abs(x24+x23-x22-2) 10(-5) x0=x1; y0=x04+x03-x02-2; x1=x2; y1=x14+x13-x12-2; x2=x1-(y1/(y1-y0)*(x1-x0); n=n+1; end sprintf(%f为一个近似根 迭代%d次数,x2,n),f(x),x0,p0,x1,p1,x2,牛顿法 是给定值x0(点p0),将过曲线上当

23、前点的切线与 X轴的交点的横坐标 作为本次迭代的输出 .其迭代公式如下.,设有方程 f(x)=0 ，由f(xn)/ (xn+1 -xn)= - f(xn) ，有迭代公式 xn+1=xn - f(xn)/f(xn) 此图的斜率是负数,牛顿迭代法的例题: 解方程 f(x)=0 这里 f(x)= - 5*x5-x4-x2-3*x-200; 因此 f(x)=-25*x4 4*x3 -2*x -3; 迭代公式为 编程： n=0; x=1; y= -5*x5-x4-x2-3*x-200; y1= -25*x4-4*x3-2*x-3; while abs(y)10(-5) x=x-y/y1; y = -5*

24、x5-x4-x2-3*x-200; y1=-25*x4-4*x3-2*x-3; n=n+1; end sprintf(%d是方程的一个近似根 %d为迭代次数,x,n),1)关于方程组的数值解，简单迭代法的迭代函数构造与方程情形一致。 2）迭代收敛较慢或不收敛时，可以考虑采用前面介绍的加速迭代 收敛方法。,注意,2.3.5 非线性方程组求解 非线性方程组的一般形式如下:,对于非线性方程组，也适用迭代解法。为表述简单起见，写成向量形式：,其中向量 为n个 构成的n维向量.如果方程组中 所有函数都是变量的线性函数,则称之为线性方程组,它是一类特殊的方程组,有 其独特的求解方法.,n元非线性函数,si

25、n(x)+ y2 + ln(z) = 7; 3*x + 2y - z3 = -1; x + y + z = 5;,下面介绍牛顿迭代法求解非线性方程组的数值解法. 考虑非线性方程组的向量形式 F(x)=0 ,其中 x 和F(x) 都为m维向量或向量函数.,若用x(n)表示第n次迭代产生的输出(向量),通过将F(x) 在当前点x(n)处展 开成一阶泰勒展式,并用x(n+1)代替x,就得到求解方程组的牛顿迭代公式,上例，,1 2 1,取a =,F(a)=,sin(1)+22-ln(1)-7,3*1 + 22 -13 +1,1 + 2 + 1 - 5,F(a)=,cos(x) 2*y 1/z,3 (2

26、y)*ln(2) 3*z2,1 1 1,a,=,0.5403 4 1,3 2.7726 3,1 1 1,记a = x (0),a=1 1 1; f1=sin(a(1)+a(2)2-log(a(3)-7; f2= 3*a(1) + 2a(2) a(3)3 +1; f3= a(1) + a(2) + a(3) + 5; n=0; while abs(f1)+abs(f2)+abs(f3)10(-5) f1=sin(a(1)+a(2)2-log(a(3)-7; f2= 3*a(1) + 2a(2) a(3)3 +1; f3= a(1) + a(2) + a(3) - 5; f=f1 f2 f3; g

27、=cos(a(1) 2*a(2) 1/a(3) ; 3 (2a(2)* log(2) 3*a(3)2 ; 1 1 1; a=a-inv(g)*f; n=n+1; if n1000 pinv(A)表示A的广义逆矩阵,A可以为任意矩阵.,以上MATLAB函数均可以对任意的线性方程组求解,不管有解、无解、有一个还是有无穷多。它们有何区别？,想,以 Ab 为例 1)当AX=b有唯一解时,给出该唯一解;,2)当其有无穷多解时,给出其中零元素最多的一组解; 3)当其无解时,给出一个最小二乘(广义)解.,对于 pinv(A)*b 当AX=b有无穷多解时,给出其中一个最小范数解(长度最小的向量); 其他两种情

28、形与Ab相同. Linsolve(A,b)针对线性齐次方程组, 等价于A b ，算法不相同,相同,考虑以下线性方程组AX=b的求解,A=4 1 0 ;1 -1 5; 2 2 -3 ,b=6 ;14; -3,其中hilb(n)表示n阶希尔伯特矩阵.,或,1 1/3 1/n,1/2 1/3 1/4 1/(n+1),1/3 1/4 1/5 1/(n+2),1/n 1/(n+1) 1/(n+2) 1/(2n-1),sum,分析:,1)此例中 说明方程组有无穷多解; 2)此例中 说明方程组有唯一解; 3)此例是希尔伯特方程, 说明方程组有唯一解.,2.4.2 非线性方程组,一些非线性方程组仍然可以用so

29、lve()函数进行求解,一般方程式组有唯一解. 解.例如, 输入:,输出:,也可以用以下fsolve()进行求解,输入格式为,其中FUN 表示函数M文件；X0 表示初始向量。例如求解下列方程组,1)首先建立方程组的函数M文件,2) 执行经下程序,function eq=nx(x) global number; number=number+1; eq(1)=sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7; eq(2)=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1; eq(3)=x(1)+x(2)+x(3)-5;,global number;,number=0;,%申明number 是全局变量 %

30、每次迭代 number均自加,% 定义全局变量 % 赋初值,3)计算结果,0.5991 2.3959 2.0050,29,其中迭代步骤为29次.,2.5 范例:波音公司飞机最佳定价策略,全球最大的飞机制造公司波音公司自1955年推出波音707开始,成功地开发 了一系列的喷气式客机.问题:讨论该公司对一种新型客机最优定价策略的数学 模型,y=fsolve(nx,1 1 1),% 调用求解函数，1 1 1为解的估计值,解方程组的迭代步骤体现在fsolve中，方程组写在nx函数中,返回,2.5.1 问题分析,定价策略涉及到诸葛亮多因素，这里考虑以下主要因素： 价格、竞争对手的行为、出售客机的数量、波

31、音公司的客机制造量、制造成成 本、波音公司的市场占有率等等恩素。,2.5.2 假设及模型,价格记为p，根据实际情况，对于民航飞机制造商。能够 与波音公司杭衡 的竞争对手只有一个，因此他们可以在价格上达成一致。具体假设事下； 1）型号：为了研究方便，假设只有一种型号飞机： 2）销售量：其销售量只受飞机价格p的影响。预测以此价格出售，该型号飞机 全球销售量为N.N应该受到诸多因素的影响，假设其中价格是最主要的因素 。根据市场历史的销售规律和需求曲线，假设该公司销售部门预测得到,3）市场占有率：既然在价格上达成一致，即价格的变化是同步的，因 此，不同定价不会影响波音公司的市场占有率，因此场占有率是常

32、数，记为h. 4)制造成数量：假设制造量等于销售量，记为x既然可以预测该型号飞机全 球队销售量，结合波音公司的市场占有率，可以得到,5）制造成本：根据波音产品分析部门的估计，制造成本为,6）利润：假设利润等于销售收入去掉成本，并且公司的最优策略原则为 利润R(p)最大。利润函数为,由以上简化的分析及假设得到波音公司飞机最佳定价策略的数学模型如下,其中,2.5.3 模型求解,我们采用图形的方法求解。具体用MATLAB作出目标函数曲线图，得到 一个直观的印象：最优定价策略下价格p大致在6到7之间；再用图形放大方 法，进一步估计出（如图2.3),MATLAB程序如下(作函数曲线图的基本程序),注意,

33、1)根据图形的具体情况,不断修改上面程序中的最长一条语句,就可以不断地放 大图形,将最优解的范围限制得越来越小,直至找出满意的近似解.,2)以上市场占有率h=0.5；对于市场占有率h的其他取值，可以类似地进行。,2.5.4 进一步思考的几个问题,1）h取其他值时的最优价格，并进行比较； 2）这是一个最值问题，由高等数学的知识，可以利用导数求驻点然后求最 值。给出用此方法得到最佳价格p(精确到小数点后四位）的求解过程及MAT-,利润曲线R（P）,1780.8336,1780.8336,1780.8336,1780.8335,1780.8334,1780.8334,1780.8334,1780.8

34、333,1780.8332,6.285 6.2852 6.2854 6.2856 6.2858 6.286 6.2862 6.2864 6.2866 6.2868 6.287,价格p,图2.3图形放大法求解波音公司飞机最佳定价策略,LAB程序.,3)如果模型假设中,在预测该型号飞机的全球销售量时,使用的不是二次函数, 而是其他符合市场规律的曲线,具体考虑几种不同曲线,并进行计算和比较. 4)以上问题的6条假设中,哪些较为合理,哪些不太合理,应该如何修改? 5)在将此模型推向实际应用时,哪些因素是关键的,哪些因素处理和参数的获取 是很困难的?,2.6 实 验,2.6.1 实验一:油价与船速的优化

35、问题,油价的上涨,将影响大型海船确定合理的航行速度,以优化航行收入.直观 地，油耗的多少直接影响船厂速成的快慢，因而直接影响航行时间的长短， 进而影响支会船员人工费用数量。过去有一些经验表明：（1）油耗正比于 船速的立方；（2）在最省油船速成的基础上改变速20%的速度，则引起 50%的油耗的变化。作为一个例子：某中型海船厂，每天油耗40吨，减少 20%的航速，省油50%即20吨，每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用 5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用，如何最优化？,算例：航程L=1536海哩，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8 天。最低航速10节，本次航行总

36、收入为84600美元。油价250美元/吨，是固定 开支1000美元。试确定最佳航速。,v=10:0.1:50; % 船速向量 l=24*v; % 日路程向量 t=1536./l; % 总行程天数 zf=1000*t; % 航程的固定费用 ryf=(250/160)*v.3.*t; % 航程的油料费用 plot(v,zf+ryf) % 对不同航速，描绘航速-费用曲线。10节费用最少 plot(v,84600-(zf+ryf) %对不同航速，描绘航速-利润曲线，10节费用最多,2.6.2 实验二：确定培训项目的总费用,单位时间内接受培训的总人数是一定的，每批培训有一定的固定成本。 接受培训的人员在

37、培训结束后，未找到工作（待业）期间，培训单位需要支付 培训人员一定的工资。试建立切合实际的数学模型，确定出每批培训的人数及 周期。,参 考 文 献,1 萧树铁主编，姜启源，何表，高立编著，数学实验，高等教育出版社，1999。,2 姜启源，数学模型，高等教育出版社（第二版），1993。,3 任善强，雷呜，数学模型，重庆大学出版社，1996,4 D Quinney, An Introduction to the NumericalSoLution of DifferentiaL Equations,John Wiley 根的第一个估计值 n=0; while abs(x- exp(x)/3)10(-10) x= exp(x)/3; n=n+1; end x,n,返回,AX = B X+AX = X+B X = X-AX+B X = (