数字信号处理丁玉美版教案第2章5节

1、1,对于连续时间信号,，其频谱为,= ,若积分不存在，则,的频谱不存在，无法分析信,号，但许多有用信号的傅立叶变换的是不存在的，,例如阶跃、正（余）弦等。,为分析这类信号，借助,2.5.1. Z变换的定义,一衰减因子,2.5 序列的Z变换,2, ,频谱( f ),复频谱( s ),傅立叶变换,拉氏变换,推广,特例,定义,的拉氏变换,3,对于离散时间信号 其频谱为,= ,若级数不收敛，则,的频谱不存在。,仿照连续时间,。,例如，分析阶跃序列,的频谱, ,若,，则级数收敛，要求,。,信号复频谱分析，同样借助衰减因子,4,对于任意一个序列,定义,的Z 变换,z ,可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便

2、可以,分析一些有用信号的频谱特性，但此时的频谱不仅,与数字频率 有关，且与r 有关，构成了一个复频,域 Z域，,。,z,频谱(),复频谱( z ),5,序列傅立叶变换,推广,特例,Z 变换,通过序列的 Z变换，不仅讨论了序列的频率特,性,同时讨论了r 的取值范围, 以保证 Z变换级,数收敛。,6,2.5.2 Z 变换的收敛域,（1）收敛域的定义,使级数,收敛的 Z平面上所有z 值的集,合，称为 Z变换的收敛域。, 若级数不收敛，Z 变换无意义；, 若给定,地确定x(n)。,例,，必须同时给定收敛域才能唯一,7,8,（2）序列与Z变换的收敛域的关系,9,10,11,12,(3)Z变换的零、极点,

3、一般地，Z变换可表示为 z 的有理分式,式中，,为 X(z) 的零点,为 X(z) 的极点,显然，若级数收敛，则X(z) 存在，在X(z) 的,收敛域内不存在极点。,0 或 为界。,收敛域或以极点为界，或以,13,例如：,为 X(z) 的零点,a、b、c为 X(z)的极点,（1）,对应左边序列,（2）,（3）,对应双边序列,（4）,对应右边序列,14,4例 求下列序列 x(n) 的Z变换及其收敛域与,零、极点分布。,(a),(b),解：,(a),(b),极点：,(N-1)阶，,零点：,15,z变换与拉氏变换的关系,1.连续信号的FT与ST,FT,ST,(S 的收敛域包含虚轴),16,经过采样的

4、信号为：,2.FT与ZT关系,则,17,从拉氏变换到z变换是单值映射，从z到s 域是多值映射关系。,18,连续信号的ST与离散信号ZT,19,Relationship between S plane and Z plane,S plane Z plane 虚轴 （=0） （r =1）单位圆 左半平面 （r 1）单位圆外,20,从S 到Z 是单值映射，从z 到s 域是多值映射关系。,21,2.5.3 Z逆变换,1Z逆变换公式,若,则,x(n) = z -1X(z) ,22,23,2Z反变换的几种常用方法 介绍,（1）留数法,可利用留数定理计算围线积分,X(z)z n-1在 c 内的极点上的留数,

5、 一阶极点的留数,设 X(z)z n-1在 c 内有 N 个一阶极点, m 阶极点的留数,设 X(z)z n-1在 c内有一个 m阶极点 a ,则 a上的留数为,X(z)z n-1,c 内,24,例 求,的反变换。,解：,时， X(z)z n-1在 c 内有,一个极点 a,时，,成为 X(z)z n-1的(-n)阶极点, a 仍,为极点,?,25,X(z)z n-1 满足一定条件(书48页”注意”点)时，, X(z)z n-1 在 c 内的极点的留数,= X(z)z n-1 在 c 外的极点的留数,当 X(z)z n-1 在 z= 处有二阶或二阶以上的零点,时，,例题中，,时，,在 z= 处,

6、有(1n)阶零点,由例题可看到高阶极点留数的求解比较困难。,26,（2）长除(幂级数)法,可见， X(z)为 z 和 z-1的幂级数，各项的系数即,为对应的序列值。,可通过长除把它展开为幂级数。,应考察 X(z) 的收敛域，判断对应的是左边序列还是,右边序列。,一般地， X(z)为有理分式形式，,在展开之前，首先,若x(n)是右序列,级数应是负幂级数;若为 左序列,级数应为正幂级数.,27,28,（3） 部分分式法,再通过查表或展开为幂级数求得对应的序列（要注,意收敛域）,例,解：,即,对应右边序列,对应左边序列,将 X(z)通过部分分式展开为简单的分式之和，,29,3例 已知 X(z) 及其

7、收敛域，求 x(n),（a）,（b）,解： （a）,由收敛域可知对,应右边序列,（b）,30,2.5.4 Z变换的定理与性质,1Z变换特性表,序列,Z变换,收敛域,线性,移位,乘指数序列,X(z) 的微分,x(n) 的共轭,卷积,复卷积,31,z ,z ,z ,序列,Z变换,收敛域,初值,终值,X(z)z n-1收敛于,parseval,2.5.5利用Z变换的线性与移位特性求解差分方程,等式两边分别求Z变换,线性特性,z ,移位特性,32,33,34,35,36,37,2.5 离散系统的系统函数和频率响应,系统函数：,频率响应： 单位圆上的系统函数,38,稳定性：,（收敛域包括单位圆）,1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：,39,离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆),unit circle,unit circle,unit circle,40,Causality ( 因果性 )：,in the z-domain,41,因果、稳定系统：,H（z）的收敛域为：,（极点均在单位圆内）,42,2、利用零极点分布确定系统的频率特性：,43,位于原点的零极点不影响 只影响,44,单位圆附近的零点,使得,分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷 越低,极点使 形成波峰，极点越靠近 单位圆，波峰越尖锐