材料力学1何斌材料力学10

1、材料力学10,何斌 ,2020年10月14日星期三,第5章 弯曲强度,1 截面图形的几何性质,3 梁弯曲正应力的应用与推广,4 平面弯曲正应力公式的应用,5 薄壁截面梁横截面上的切应力,6 梁的强度计算,2 平面弯曲时粱横截面上的正应力,7 结论与讨论,2 平面弯曲时梁横截面上的正应力,1 问题的提出,2 梁弯曲应力研究的历史回顾,3 三类弯曲问题,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,1 问题的提出,跨中部位出现一些贯穿性垂直裂缝，截面的下边缘处首先出现，向梁截面中间部位延伸.,现象分析,？,2014年6月2日百度知道网上提出了这样的问题： 楼下邻居砸了承重墙致大梁开裂怎么办？,2 梁弯曲应力研

2、究的历史回顾,现代梁理论由伽利略开始关于两门新科学的对话，1638年出版。,伽利略研究的重要意义：建立了“实验观测假设分析与推导”现代科学研究方法！,1826年，由Navier完成弯曲正应力的推导。,188年！,3 三类弯曲问题,受力：荷载平面与几何纵向对称面重合,几何：具有纵向对称面,平面弯曲,纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。,横力弯曲 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,实验观测,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静

3、力关系,实验观测,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,实验观测,1.外部变形观测,（2）横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度； 且仍与纵向线正交。,（1）纵向线：变成彼此平行的弧线，且上缩下伸。,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,1.外部变形观测,（2）横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度； 且仍与纵向线正交。,（1）纵向线：变成彼此平行的弧线，且上缩下伸。,2.内部变形,变形前为平面的横截面变形后 仍为平面，仅仅是转过了

4、一个 角度且仍垂直于变形后的轴线。,梁是由许多纵向层组成的，且,（1）弯曲平面假设：,（2）单向受力假设,各纵向层之间无挤压。,假设,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,根据变形的连续性可知，梁弯曲时中间必有一层纵向既不伸长也不缩短-称为中性层 。,中性层：,中性层与横截面的交线称之为中性轴。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式

5、,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,纤维AB的正应变,横截面上任一点处的纵向正应变与该点到中性轴的距离y 成正比。,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系

6、,在弹性范围内，,1.沿y轴即高度方向线性分布 2.上下缘最大，Z轴上各点应力为零 3.与z坐标无关，沿宽度方向均匀分布。,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,应力分布图：,1.沿y轴即高度方向线性分布 2.上下缘最大，Z轴上各点应力为零 3.与z坐标无关，沿宽度方向均匀分布。,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物理关系,静力关系,中性轴Z轴为形心轴,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,应力确定三部曲,应力分布,应力公式,变 形,应变分布,变形几何,物

7、理关系,静力关系,截面对于中性轴的惯性矩,抗弯刚度,4 平面纯弯曲梁横截面上的正应力,最大正应力公式与弯曲截面模量,工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标值最大，即y=ymax。将y=ymax代入正应力公式得到,称为弯曲截面系数，单位是mm3或m3 。, 纯弯曲时，梁横截面上正应力分析,最大正应力公式与弯曲截面模量, 纯弯曲时，梁横截面上正应力分析,最大正应力公式与弯曲截面模量,第5章 弯曲强度,1 截面图形的几何性质,3 梁弯曲正应力的应用与推广,4 平面弯曲正应力公式的应用,5 薄壁截面梁横截面上的切应力,6 梁的强度计算,2 平面

8、弯曲时粱横截面上的正应力,7 结论与讨论,3 梁弯曲正应力的应用与推广,正应力的正负号,首先决定正应力是拉应力还是压应力。 确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；然后根据所要求应力的那一点的位置，以及“弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩”这一关系，就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力。,3 梁弯曲正应力的应用与推广,最大正应力的计算,如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴，并且加载方向与其中一根对称轴一致时，则中性轴与另一对称轴一致。此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。,如果梁的横截面只有一根对称轴，而且加载方向与对称轴一致，则中性轴过截面形心

9、并垂直对称轴。这时，横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，可由下列二式分别计算：,在实际计算中，可以不注明应力的正负号，只要在计算结果的后面用括号注明“拉”或“压”。,3 梁弯曲正应力的应用与推广,计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题,3 梁弯曲正应力的应用与推广,公式适用条件：1）符合平面弯曲条件2）p(材料在线弹性范围内工作）,细长杆,横力弯曲,翘曲变形,3 梁弯曲正应力的应用与推广,2009年春，范钦珊教授提出一个关于细长梁理论的怪例：,教材上的公式：弯矩为零,Q&A?,3 梁弯曲正应力的应用与推广,何斌，张慧玲，陈晨，范钦珊，从一个怪例看细长梁理论的基本假定, 力学与实践，201

10、0，32(4)：90-93,何斌，范钦珊，张慧玲 ，均布力偶作用下细长梁力学分析，固体力学学报，2011，32(5)：534-540(EI),何斌，张慧玲，范钦珊，再论从一个怪例看细长梁理论的基本假定, 力学与实践，2011，33(6)：79-80,第5章 弯曲强度,1 截面图形的几何性质,3 梁弯曲正应力的应用与推广,4 平面弯曲正应力公式的应用,5 薄壁截面梁横截面上的切应力,6 梁的强度计算,2 平面弯曲时粱横截面上的正应力,7 结论与讨论,例题 1,矩形截面悬臂梁有两个对称面：由横截面铅垂对称轴所组成的平面，称为铅垂对称面；由横截面水平对称轴所组成的平面，称为水平对称面。梁在自由端承受

11、外加力偶作用，力偶矩为Me，力偶作用在铅垂对称面内。试画出梁在固定端处横截面上的正应力分布图。,例题 1,解：1. 确定固定端处横截面上的弯矩 根据梁的受力，从固定端处将梁截开，考虑右边部分的平衡，可以求得固定端处梁截面上的弯矩: MMe 。这一梁的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩Me。,例题 1,解：2. 确定中性轴的位置,中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴(y)垂直。因此，z轴就是中性轴。,3判断横截面上承受拉应力和压应力的区域,根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。,例题 1,3判断横截面上承受拉应力和压应力的区域,根据弯矩的方向

12、可判断横截面中性轴以上各点均受压应力；横截面中性轴以下各点均受拉应力。,4画梁在固定端截面上正应力分布图,根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y）按直线分布，在上、下边缘正应力最大。本例题中，上边缘承受最大压应力；下边缘承受最大拉应力。于是可以画出固定端截面上的正应力分布图。,例题 2,矩形截面简支梁承受均布载荷作用。已知：矩形的宽度b=20mm，高度h30mm；均布载荷集度q10 kN/m ；梁的长度l450mm。求：梁最大弯矩截面上1、2两点处的正应力。,l/2,l/2,例题 2,解： 1. 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值,根据静力学平衡方程 MA0 和MB0，可以求得支座A和B处

13、的约束力分别为,例题 2,解： 1.确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值,梁的中点处横截面上弯矩最大，数值为,例题 2,解： 2. 计算惯性矩,根据矩形截面惯性矩的公式,本例题中，矩形截面对z轴的惯性矩为,例题 2,解： 3求弯矩最大截面上1、2两点的正应力,均布载荷作用在纵向对称面内，因此横截面的水平对称轴(x)就是中性轴。根据弯矩最大截面上弯矩的方向，可以判断：1点受拉应力，2点受压应力。,1、2两点到中性轴的距离分别为,例题 2,解： 3求弯矩最大截面上1、2两点的正应力,于是，在弯矩最大截面上，1、2两点的正应力分别为,例题 3,丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP32kN，梁的长度l=2m。丁字形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。,例题 3,解： 1确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值,根据静力学平衡方程 MA0 和MB0，可以求得支座A和B处的约束力分别为FRAFRB16 kN。根据内力分析，梁中点的截面上弯矩最大，数值为,例题 3,2确定中性轴的位置,丁字形截面只有一根对称轴，而且载荷方向沿着对称轴方向，因此，中性轴通过