高中数学专题：抽象函数常见题型解法

1、最新资料推荐抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。一、定义域问题例 1. 已知函数f (x 2 ) 的定义域是 1， 2，求 f （x）的定义域。f (x) 的定义域是 1，2 ，求函数f log 1 (3x)例 2.已知函数2的定义域。二、求值问题f (2)1，f (6)1例 3.已知定义域为R 的函数f （ x ），同时满足下列条件：5 ；f ( xy)f ( x)f ( y) ，求 f（ 3）， f （ 9）的值。三、值域问题例 4.设函数 f（ x）定义于

2、实数集上，对于任意实数x、 y， f ( xy)f ( x) f ( y) 总成立，且存在 x1x2 ，使得 f ( x1 )f ( x2 ) ，求函数 f (x) 的值域。解：令 xy0 ，得 f (0) f (0) 2，即有 f (0)0 或 f (0)1。若 f (0)0，则 f ( x)f ( x0)f ( x) f (0) 0 ，对任意 xR 均成立，这与存在实数x1x2 ，使得 f (x1 )f ( x2 ) 成立矛盾，故f (0) 0 ，必有 f (0)1。由于 f (xy)f (x) f ( y) 对任意 x、 yR 均成立，因此，对任意xR ，有f ( x)f ( xx)f

3、( x ) f ( x ) f ( x) 2022222下面来证明，对任意xR，f (x)0设存在 x0R ，使得 f ( x0 )0 ，则 f (0)f (x0x0 )f (x0 ) f (x0 )0这与上面已证的f (0)0 矛盾，因此，对任意 x R， f (x) 0所以 f (x)0评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题1最新资料推荐例 5. 设对满足 x0，x1 的所有实数 x，函数 f (x)f (x)f ( x 1) 1 x满足x解析式。，求 f（x）的f (x)f ( x1)1x(1)x1解：在x中以x代换其

4、中 x，得：f ( x 1)f (1 )2x 1(2)xx1x1再在（ 1）中以x1 代换 x，得f (1 )f (x)x 2(3)x 1x1f ( x)x3x21(1)( 2)(3) 化简得：2 x( x1)x1评析：如果把x 和x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例 6.设 f （ x ） 定 义 于 实 数 集 上 ， 当 x 0 时 ， f ( x) 1 ， 且 对 于 任 意 实 数 x 、 y ， 有f ( xy) f ( x)f ( y)

5、，求证： f ( x) 在 R 上为增函数。证明：在 f ( x y)f (x) f ( y) 中取 x y0 ，得 f (0) f (0) 2若 f (0)0，令 x0， y0 ，则 f ( x)0 ，与 f ( x)1 矛盾所以 f(0)0 ，即有 f (0)1当 x0 时， f (x)1 0 ；当 x 0 时，x 0， f ( x) 1 0而 f ( x) f ( x)f (0) 1f (x)10所以f ( x)又当 x0时， f ( 0) 102最新资料推荐所以对任意 xR ，恒有 f (x)0设x1x2，则 x2x1 0， f ( x2x1 ) 1所以 f (x2 )f x1( x2

6、 x1 )f ( x1 ) f ( x2x1 ) f ( x1 )所以 yf (x)在 R 上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例 7.已知 函数 f ( x)( xR， x0)对 任 意 不 等 于零的 实 数 x1、 x2都 有f ( x1 x2 )f (x1 )f ( x2 ) ，试判断函数f（ x）的奇偶性。解：取 x11， x21 得： f ( 1)f (1)f (1) ，所以 f (1) 0又取 x1x21得： f (1) f (1)f ( 1) ，

7、所以 f ( 1)0再取 x1x， x21则 f ( x)f ( 1)f (x) ，即 f ( x)f ( x)因为 f (x) 为非零函数，所以f (x) 为偶函数。七、对称性问题例 8. 已知函数 yf ( x) 满足 f ( x)f (x)2002 ，求 f1 ( x)f1 (2002 x) 的值。解：已知式即在对称关系式f (ax)f(ax) 2b 中取 a0，b2002，所以函数 yf (x)的图象关于点（ 0， 2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数点（ 2002， 0）对称。yf 1 ( x) 的图象关于所以 f1 (x 1001)f 1 (1001 x) 0将上式中的 x 用 x1001代换，得 f 1 (x)f 1(2002x) 0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题： 设 a、b 均为常数，函数 yf (x) 对一切实数 x都满足 f (a x)f(a x)2b ，则函数 yf ( x) 的图象关于点（ a，b）成中心对称图形。八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数f（ x）满足：对任意