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1、线性方程组解的结构,维向量的概念,定义 由,个有次序的数,构成的有序数组称为一个,维向量，,简记为,即,其中,称为向量的分量，,称为向量的维数,也可以写成一列,例 已知,，,计算：,解：,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用等表示，如：,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,定理1,定义

2、,从而,注意:,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,线性相关性的概念,线性相关性的判定,解,例,或r(I)=n，得线性无关。,解,例,分析,解：因为,证法1,证法2,性质1：,向量组的线性相关性质,说明：,性质2：,说明：,性质3：,定理3 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,线性表示、线性相关、线性无关三者的关系,而不是 “每一个”,定理 4：,（定理）。,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相

3、关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（难点）,小结,定义,秩,极(最)大线性无关向量组,定理,结论,说明,事实上,定理,推论1,推论2,解向量的概念,为齐次线性方程组,的解,称为方程组 的解向量。,齐次线性方程组解的结构,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间一般记作,注：齐次解的线性组合仍为齐次解,基础解系的定义,基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程

4、组的 个解：,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则 其通解为,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,证明,非齐次线性方程组解的性质,非齐次线性方程组解的结构,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进

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