第三章-连续型随机变量

1、第三章 连续型随机变量 1. 设随机变量 在区间 上取值，且对每个 ， 落入 内的概率与 成正比。（1）求 的分布函数 ；（2）求 的密度函数 ；（3）计算 落在区间 的概率。（例题、一维、连续型、分布函数）解：（1）根据题意，当 时， ，当 时， 当 时， 。由连续型随机变量分布函数的连续性，有 ，得到 。故（2） （3） 。2. 已知随机变量 的密度函数为 ， ，求 的分布函数 。（例题、一维、连续型、分布函数）解：当 时， 。当 时， 所以3. 设 的密度函数为 求 的分布函数。（例题、分布函数）解：当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；所以，4. 设 ，利用正态分布计算下列概

2、率：（1） ；（2） 。（例题、标准正态分布、计算）解：（1）（2）5. 设 ，计算下列概率：（1） ；（2） 。（例题、正态分布、标准正态分布、计算）解：（1）；（2）6. 某校抽样调查表明，该校考生外语成绩（百分制）服从正态分布 ，已知96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。（例题、正态分布）解：设 是外语成绩，则 ，但是 ，故， ，即 ，但 ，于是 ，得到 。所以7. 设成年男子身高服从正态分布 （单位：厘米），（1）求成年男子身高大于160cm的概率；（2）公共汽车应设计多高，才能使成年男子上车时碰头的概率不大于5；（3）在这个设计之下，求100个

3、成年男子上车时，至少有2个人发生碰头的概率。（例题、正态分布）解：（1）（2）设应设计为 厘米高，则应有 ，但是 ，从而有 ，查表得到 ，于是有 ，即 。（3）记 为100成年男子上车时，发生碰头的人数，则 （设 取186.45厘米，故8. 设二维随机变量 的密度函数为 。（1）确定常数 ；（2）求 ；（3）求 ；（4）求 。解：（1）由 ，有得到 。（2）（3）（4）首先确定积分区域如下图的阴影部分：所以，9. 设二维随机变量 的密度函数为 （1）确定常数 ；（2）求 的分布函数；（3）计算概率 以及 ；（4）问 与 是否独立？（例题、二维、连续型、分布函数、密度函数、待定系数、独立性）解：

4、（1）所以， 。（2）设 ，有当 落入2，3，4象限时，显然有于是 （3） 而（4） 易见当 时， ，从而 同理，有 从而对任意 有 ，即 与 相互独立。10. 设二维随机变量 在矩形域 上均匀分布，（1）写出 的联合密度及边缘密度函数；（2）求出 的分布函数 。（例题、二维均匀分布、联合密度、边缘密度、分布函数）解：（1）矩形域 的面积为 ，故且有 时， ，故有， ，同理， （2）当 或 时，当 时，当 时，当 时，当 时，于是有 11. 设 是两个相互独立的随机变量，已知 ， 的密度函数为（1）求 与 的联合密度函数；（2）设含有 的二次方程，求 有实根的概率。（例题、独立性、联合密度）解

5、：（1） 有密度函数 ，则 与 的联合密度函数为 。（2） 有实根 ，即 ，于是12. 设 的联合密度为 求（1） 的边缘密度并判断 与 是否独立；（2） 的条件密度；（3） 的密度函数。（例题、联合密度、条件密度、独立性）解：（1）由 ，知当 时，有 ，而 取其它值时， 为0。从而显然有 ，即 ，同理， ，故当 时，有 ，即注意到，当 时，所以 与 不独立。（2） 。（3） ，当 时，即当 时，有 。所以当 时，有 ，当 时， ，而当 时，积分区域如下图的阴影部分： 于是有 13. 设二维随机变量 的密度函数为，并计算概率 及 。（例题、条件概率）解：当 时， ，即 ，而当 时， ，即 ，从

6、而当 时， 当 时， 。于是有 。又注意到 ，从而有（根据条件概率公式） ，但 故 注意在本题中 和 的不同解法。14. 设 的联合密度为 求（1） 及 的边缘密度；（2）计算概率 ， ；（3） 及 的条件密度；（4）计算概率 及 （例题、二维、联合密度、条件密度、条件概率）解：（1） 的区域如下图的阴影部分：故当 时，。当 时， ，于是 而当 时，当 时， ，当 时， ，于是 （2），。（3）当 时，当 时，当 时，（4），。15. 设随机变量 且当已知 时， ，其中 ，求 的联合密度。（例题、条件概率、联合密度）解：由 ， ， ，于是 。16. 设 ，求 的密度函数。（例题、随机变量函数的

7、分布、单调）解：显然 ，而 严格单调，故 ，且由 知， ，从而得到17. 设 ，求 的密度函数。（例题、随机变量函数的分布、单调）解： ，且 单调，反函数 且 ，于是当 时， ，即 。18. 设随机点 在上半单位圆 上均匀分布，其向径 （原点为 点）与 轴正向的夹角设为 ，记 ，求 的密度函数并计算概率 。（例题、随机变量函数的分布）解：（1）注意到 ，于是 由密度函数 ，从而 ，当 时， ，当 时， 。从而有 （2） 。19. 设 与 独立，且有密度函数 ， ，求 的密度函数。（例题、两个随机变量和的分布）解：（1） ， ，由卷积公式，由 ，当被积函数大于0时，应有 ，且 ，所以积分区域如下

8、图的阴影部分：当 时， ，当 时， ，于是有 。20. 设 与 独立， 与 均服从均匀分布 ,求 的密度函数。（例题、两个随机变量和的分布）解： ,由卷积公式，有 ，当被积函数大于0时，即 时，应有 且 ，即下图中的阴影部分：故，当 时， ，当 时， 。于是有 21. 设 与 独立，且 ， ,求 的密度函数。（例题、两个随机变量和的分布）解： 由 ，并注意到 大于0时，有 ，且 ，即 ，于是22. 设 与 独立，且 ， 在 上服从辛普生分布，即 ，求 的密度函数。 （例题、两个随机变量和的分布）解： 由 ，当 大于0时，应有 且 ，注意这个区域又由 分为两半，如下图中的阴影部分：在两个区域中

9、的表达式是不同的，于是当 时， ；当 时，注意到这时区域 且 由 分为两半，每一半区域中 表示不同，故有，当 时， ，综上所述，有 23. 设 ， ，且诸 相互独立，令 ，求概率 。（例题、正态分布、独立性、随机变量函数的分布）解：由正态分布的可加性，知 也服从正态分布 ，且，故 24. 设 有联合密度 证明： 与 不独立，但 与 独立。（例题、二维随机变量、独立性）证： ，即 ，显然当 时， ，所以 与 不独立。又，令 ，由 的值域知 。于是 的二维分布函数为，从而知 的联合密度为：，边缘密度为：，同理， 于是对任意 有 ， 与 互相独立，故 与 互相独立。25. 设两个电子元件的寿命分别为

10、 ，且有 ，互相独立，求 的概率密度。（例题，随机变量商的分布、独立性）解： 的边缘密度为 且 的值域为 ，有所以 26. 设两个电子元件联接方式为（1）串联；（2）并联；（3）备用（即第一个损坏时换上第二个），又设两元件寿命 分别服从 及 ，（ ，且 ），求上述三种系统的寿命的密度函数。（例题、指数分布、极大、极小）解：设第一个元件寿命为 ，第二个元件的寿命为 ，则其密度函数和分布函数分别为并设系统寿命为 ，注意到两元件的寿命当然是互相独立的，于是有（1） ，于是从而有（2） ， 于是有 （3） ，由卷积公式，有 ，要使 大于0，应有 ，且 ，故当 时，有即 27. 三个火车站每天上午各独立

11、地发一列火车去同一煤矿拉煤，设每列火车到达时间从上午8时到下午8时内均匀分布，求（1）第一列火车到达时间的概率密度；（2）某天第一列火车在上午9时后到达的概率。（例题、极小）解：设 是第 火车到达的时间，则 ， ，且 相互独立，并且， （1） 设 是第一列火车达到时间，则 ，故 （2） 28. 公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过，乘客到汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3分钟的概率（假设公共汽车一来，乘客必能上车）（例题、几何模型、均匀分布）解：解决这类问题通常需要建立正确的模型，不同的模型有不同的解法。解法1：用几何模型，设想公共汽车在区间 （单位：分）中到达，这就是基本事件区

12、域，事件发生的区域就是区间 ,后者区间长度与前者区间长度的比为 ，这便是所求的概率。解法2：用随机变量。设刚开走的汽车是在 时刻，于是下一部汽车将在 （分）到达。又设乘客到达汽车站的时刻为 ，则 在 上均匀分布的，于是有 ，从而“候车不超过3分钟”的事件可表示为乘客在区间 中的时刻到达，即 ，根据概率密度的性质，这个事件的概率为 29 设函数 ，问 是不是二维随机变量的分布函数？（二维、连续型、分布函数）解：不是。因为一个二元函数要能成为分布函数，它必须满足分布函数的一切性质，在二维分布函数的性质中有如下的一条：而题中给出的函数不满足这一条性质，比如，特别地取 ， ，从而 ， ，把这四点代入表

13、达式中得到 。因此 不是二维分布函数。30 给定非负函数 ，它满足 。又设问 是否满足二维连续型随机变量 与 的概率密度函数的条件？（例题、二维、连续型、密度函数）解：实际上，我们知需要验证两个条件：（1） ；（2） 。事实上，由 ， ，而 非负，所以 ；其次所以，题中的式子是一个二维连续型随机变量的密度密度函数。31 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为 ，并假定各周的需要量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度。（例题、连续型、联合密度函数、联合分布函数）解：假定某种商品一周的需要量用 （单位商品）表示，那末 是一个随机变量，它的概率密度便是 ，其图形如下：

14、从图中可以看出，在一周中需要 （单位商品）左右这个数量的可能性最大，需要很大数量商品的可能性趋于零。而需要很少数量的红色那个品的可能性也极小，因此这条概率密度曲线就是一周中的需求量曲线。有了这条曲线，有关人员就可以根据它准备适当数量的货源，避免组织过多商品造成积压和组织过少商品造成供不应求的两种极端现象。例如：如果组织4单位商品，就有 的可能性，即90以上的可能性保证供应。假定用 ， ，表示第 周需要量， ， 表示第 个周的总需要量，那末 ， 。注意 是独立同分布的随机变量，即它们的概率密度为 现在来求 ， 的概率密度。由于 的独立性，得 的联合密度为，同理的联合密度为于是，两周需要量 的分布

15、函数为其中积分区域 如下图：故 的概率密度为 ，类似地，对于三周需要量 的分布函数为其中积分区域 如下图：故密度函数为 。32 设 与 的联合密度函数维 令 ， ，求 和 的联合概率密度函数。（例题、连续型、极大、极小、联合密度函数）解：由题中给出的随机变量 到随机变量 的一种变换，求新的随机变量的概率密度函数的一般方法为：变换的雅可比行列式的绝对值乘以原来的联合密度函数即可。因此，关键是求得变换的表达式和雅可比行列式。如图：在图中，矩形 分为两部分 与 ，如果随机点 落入 ，那末 ，因此，随机变量 变为 于是此部分概率密度中变量的变换和逆变换分别成为 和 ，变换的雅可比行列式为 ，于是在 上，新的概率密度为 ， 。另一方面，如果随机点 落入 ，那末 。因此，此时随机变量的变换成为 于是此部分概率密度的变量的变换和逆变换分别为 和 ，变换的雅可比行列式为 。于是在 上，新的概率密度为 。综合上面的讨论 的联合密度函数为 33 （既非离散型又非连续型的随机变量）设随机变量 服从 上的均匀分布，设 ，求 的分