第18讲导数的综合应用

1、新课标高中一轮总复习,第三单元 导数及其应用,第18讲,导数的综合应用,1.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等. 2.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法.,1.对任意实数x,若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x0时，f (x)0,g(x)0，则x0时，有( ),B,A.f (x)0,g(x)0 B.f (x)0,g(x)0 D.f (x)0,g(x)0,由已知,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 又x0，f (x)0，所以f(x)在(0,+)上单调递增， 所以f(x)在(-,0)上也是单调递增,即x0

2、. 同理，g(x)在(-,0)上单调递减， 所以x0时，g(x)0，故选B.,2.已知函数y=f (x)的图象如右图所示(其中f (x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中,y=f(x)的大致图象是( ),A,y=f (x),由题图知， 当x0,所以f(x)递增; 当0 x1时,y0,所以f (x)0,所以f(x)递减; 当x1时，y0,所以f (x)0,所以f(x)递增. 故选A.,3.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别是 .,R和 R,如图，设矩形的一边 长为2x,则另一边长为 (0 xR), 所以矩形的周长y=2(2x+ ), 所以y=2(2- ) (0 xR). 令y=

3、0,得x= R,此时 = R， 易得x= R是y=2(2x+ )的极大值点，即同时也是定义域上的最大值点.,4.设点P是曲线y=x3-3x+ 上任意一点，P点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 .,0, ) ,),因为y=3x2-3-3,所以tan-3, 所以0, ) ,).,1.利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题 其解题的程序:读题(文字语言)建模(数学语言)求解(数学应用)反馈(检验作答) 注意事项： (1)函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确定自变量的取值范围；,(2)问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际

4、意义； (3)在函数定义域内只有一个极值，则该极值就是所求的最大(小)值. 2.近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类 (1)求参数的取值范围.多数给出单调性,利用导数研究函数单调性的逆向思维问题,灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法,建立关于字母参数的不等关系.,(2)用导数方法证明不等式. 其步骤一般是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论. (3)与几何图形相关的最值问题.根据几何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值.,题型一 导数与三次函数的问题,例1,已知函数f(x)=x3-ax2-3x. （1）若f(x)在1,+)上是增函数，求实数a的取值范围；

5、（2）若x=3是f(x)的极值点，当x1,a时，求f(x)的最大值和最小值.,（1）可由y=f(x)在1,+)上f(x)0恒成立来确定含参不等式，利用等价转化求得a的取值范围.,(1)f (x)=3x2-2ax-30，在x1,+)上恒成立，所以a (x- ). 当x1时，y= (x- )是增函数，其最小值为 (1-1)=0.所以a0，又a=0也合题意，所以a0.,(2)依题意f (3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4. 所以f(x)=x3-4x2-3x, 则f (x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3), 故f(x)有极大值点x=- ，极小值点x=3. 此时，f(x)在- ,3上是

6、减函数，在3,+)上是增函数. 所以f(x)在x1,a上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6（这里f(a)=f(4)=-12f(1)=-6).,三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围.破解难点的方法是对三次函数求导后，化归成二次函数，通过二次函数根的分布求解，或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围.解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究.,题型二 利用导数证明不等式,例2,已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax,g(x)=3

7、a2lnx+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同. (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)g(x)(x0).,第（1）问由函数f(x)与g(x)在公共点(x0,y0)处的切线相同，建立关于b的函数关系式，然后求出b的最大值；第（2）问求证f(x)g(x)(x0)，先构造函数F(x)=f(x)-g(x)(x0)，再证明在x0时，F(x)0成立即可.,(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同. 又f (x)=x+2a,g(x)= ， 由题意知 f(x0)=g(x0) f (x0)=g(x0), 即 x0

8、2+2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= , 由x0+2a= 得x0=a,或x0=-3a(舍去)， 即有b= a2+2a2-3a2lna= a2-3a2lna.,令h(t)= t2-3t2lnt(t0),则h(t)=2t(1-3lnt). 由h(t)=0,得t=e 或t=0(舍去）,列表如下：,于是h(t)在(0,+)上的最大值为 h(e )= e ，即b的最大值为 e .,(2)证明：设F(x)=f(x)-g(x) = x2+2ax-3a2lnx-b(x0), 则F(x)=x+2a- = (x0). 故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+)上为增函数, 由F(x)=0，得x=a或

9、=-3a(舍去).列表如下：,于是函数F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故当x0时,有f(x)-g(x)0, 即当x0时,f(x)g(x).,利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式破解的基本思路是从函数的角度分析和理解要证明的不等式的结构特点去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.,题型三 导数在实际问题中的应用,受金融危机的影响，三峡某旅

10、游公司经济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x万元之间满足:y= x-ax2-ln , t,+)，其中t为大于 的常数.当x=10时,y=9.2. (1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范围； (2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值.,例3,第(1)问把x=10,y=9.2代入函数式,即可求出a的值,得到y=f(x);第(2)问求f(x)在区间上的最大值,需要先讨论y=f(x)的单调性,确定取得最大值的区间和对应的x的值.,（1）因为当x=10时，y=9.2， 即 10-a102-ln1=9.2，解得a= ,

11、所以f(x)= x- -ln . 因为 t且t ，所以6x . 即投入x的取值范围是(6, .,(2)对f(x)求导， 得f(x)= - - =- =- . 令f(x)=0，得x=50或x=1(舍去). 当x(6,50)时，f(x)0，且f(x)在(6,50上连续， 因此，f(x)在(6,50上是增函数； 当x(50,+)时，f(x)0且f(x)在50,+)上连续.,因此，f(x)在50,+)上是减函数. 所以x=50为极大值点. 当 50，即t( , 时，投入50万元改造时取得最大增加值； 当6 50,即t( ,+)时,投入 万元改造时取得最大增加值.,本题的难点是求旅游增加值y取得最大值时

12、对应的x的值由第(1)问可知x的取值范围是(6， ，因此需要从研究f(x)在这个区间上的单调性入手，找到变量t所在区间上y取得最大值时x的值.利用导数知识作为解题工具研究函数的最值等，体现了导数知识在求解实际问题中的应用价值，需要考生多揣摩.,1.应用导数证明不等式，关键在于构造适当的函数. 2.利用导数解决优化问题，关键在于建立目标函数，并且还要根据实际问题，写出函数的定义域. 3.在求实际问题的最值时，如果只有一个极值点，则此点就是最值点.,(2009湖南卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?,(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m,即n= -1, 所以y