10 2 远期与期货定价

1、第二节远期与期货定价12第二节 远期与期货定价一.概念1. 定义：期货定价有两种：一种是对合约本身的价值定价， 另一种是指合约标的物的价格。它们都是指不存在无风险套利情况下期货合约或期货标的的价值。2. 期货合约标的物（基础资产）的价格也直接影响到合约的价值。3. 假定:市场不存在违约风险；投资者可以做实现其意愿的买空与卖空；不存在交易费用与税收、市场不存在无风险套利机会。二.远期与期货合约价值1.远期合约价值表示 t 时刻远期合约的价值，其中 t =0,1，T。Vt Ft =0：表示的是现期，t = T 表示的是到期日；Ft 表示 t时期所确定的T期基础资产的远期价格，简称为 t 时期远期价

2、格F表示远期合约里所敲定的基础资产的价格，显然F=F0St 表示t时期基础资产的现实价格。3合约期初时有=F0=FS0合约到期T 时有= STFT不存在无风险套利机会(1)现期价值如果市场不存在无风险套利机会，则有V F= S- F= 0004(2)到期合约价值合约多头的价值F=-VSFTT合约空头的价值F=-VFSTT5(3)任意时期 t 合约价值构造一个组合Z=（A, B）交割价格分别为F和FtA:第 0 期购买一个T 期远期合约:FVAtB:第 t 期卖空一个T 期结束的远期：V FB(= 0)t则在t 刻，组合Z的总值:= V+V= V= Vt FFFFFVZABAtttt在到期日为T

3、：= S- F= -(S- F )FFVVABTTTTt6在到期日T 该投资者两个头寸的价值总和：=+ V=FFFVVZABTTT=（ ST F）（ST Ft）=Ft FV FZ= V FZ e-r (T -t ) = (F - F)e-r (T -t )显然= V FAtTtt= (F - F)e-r (T -t )= V FA即有V Fttt0tT7V FA = V FttV FB= 0t即有：我们得到 t 时期远期合约的理论价值：V F= (F - F )e-r (T -t )*tt可以验证，（*）式对与任意时期的远期合约价值均有效。82. 期货合约价值Vt f表示t 期期货的价值，设f

4、t 是 t 期期货价格(即 t 期基础资产的交割价格)（到期日为T），为方便起见，我们令现期的期货价格f0=。f其他符号同上。显然，在第 0 期时，期货合约的价值为0，即：V0f在到期日时必有：= S0 f = 0fT=ST9如果上式不成立的话，可以在 T 时通过卖空现货和购买期货的办法（此时ST fT ）或通过买入现货和卖空期货的办法（此时 fT ST）来从中套利。故而在到期时：= S- ffVLONGTT=f- SfVSHORTTT进一步分析：任意时期 t 的期货合约的价值。由于期货实行盯市制度，下面分别讨论盯市之前和盯市之后的期货价值。10（1）盯市操作之前的期货价值假设 ft 是 t

5、时期闭市之前的期货价格，则期货价值为：Vt fVt f=-ftff期货多头ft期货空头到期时：=- f= S- ffVf期货多头TTTf- f=f- SfV期货空头TTT11（2）盯市操作之后的期货价值实行盯市操作后，期货合约在该交易日的价值盈亏已经反映在（或转移到）投资者的保证金帐户之上，所以该期货合约在下一个交易日开始前已不具备任何价值（即不能给投资者带来任何收益）：= 0fVt盯市之后，到期时同样有：VTf=012三、期货价格与远期价格的关系通过下面的滚动投资策略分析的办法，我们可以得出在无风险利率在合约有效期限内保持不变条件下，则具有相同到期日远期合约的远期价格与期货合约的期货价格相等

6、的结论。首先假设投资者在期初拥有一个投资组合1. 作F0的无风险资产投资，2. 购买一期货合约，期限为n天，期货价格为F0 。考虑如下的滚动投资策略：该期货持仓量第一天为e，以后每日增加 e（i1） ei (0in) ， 交割时（第n天）持仓总量为en 。Fi为第 i 天末(0in)的期货收盘价格， 定义 为每日的无风险利率(设为常数)。即有(1)在第0日末(即合约之初)做一多头期货，投资者持仓量为e；(2)在第1日末该期货合约多头的持仓量增至e2；1314(3)在第2日末该持仓量增至e3，依次类推，一直至第n1日末将 持仓量增至en为止。将上述的投资策略总结为表4-5。从第 i 天的开始，投

7、资者拥有期货合约的多头头寸ei。第 i 天的利润(可能为负)为：(FiFi-1)ei。假设第 i 天的利润值以无风险利率计算复利直至第 n 日末。则它在第n 天末的价值为：(FiFi-1) eie(n-i)= (FiFi-1)en整个投资策略的第 n 日末的价值为：n(F)end- Fi-1ii=115而且由于n(F)end- Fi-1ii=1= (F)+L+ (F- F)end) + (F- F- Fn-1n-1n-2n10= (F- F)endn0亦即整个投资策略的第n日末的价值为：(Fn F0 )e n。又由于Fn与到期日的基础资产的现货价格ST相等，从而整个投资策略的最终价值为：( S

8、T F0 )en。投资者在期初购买期货的同时还将资金F0投资于无风险资产，从而构成期货与无风险资产的一个组合，该组合在期货合约的到期时刻T总收益为：16F end+ (S- F )end= Send0T0T由于上述所有的多头期货头寸均不需要任何资金(这里以所有交易均不存在交易成本为前提)，由此可见，上述投资组合的初始投入为F0，投资F0能够在时刻T得到收益STen。下面考虑另一种投资策略，假定在第0日末具有相同基础资产和相同到期日的远期合约的远期价格为G0，将G0投资于无风险的金融资产，同时购买en个远期合约，则在T时刻时该投资组合的收益为：G end+ (S- G )endend= S0T0

9、T17因此，对于上述两种投资策略，尽管是一个要求初始投入F0，而另一个要求初始投入G0，但两种投资在T时刻都得到了同样的收益STen。因此，在不存在无风险套利机会的假定条件下，必有：F0=G0。换句话说，期货价格与远期价格是一致的。前面是在无风险利率为常数的假定条件下，得到了两个交割日相同的期货合约和远期合约的价格是一致的结论。若放定条件，设利率是一个已知的时间的函数，则结论同样成立。当然，分析更为复杂。期货价格与远期价格不一致的情形当利率变化是无法预测的时候，则在理论上期货价格与远期价格是不一致的。（参见叶永刚，金融工程学，p69）18远期价格和期货价格的关系当无风险利率恒定，且对所有到期日

10、都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。由于期货采取逐日盯市，所以远期价格期货价格期货盯市产生的现金流量当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。当利率变化是无法预测的时候，则在理论上期货价格与远期价格是不一致的。19四、期货和远期定价既然在r恒定的条件下期货价格在任何时候都与远期价格相同，那我们只要讨论二者之一，比如远期定价既可以了。本章将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的，Tt代表远期和期货合约中以年为单位的

11、剩下的时间。S：标的资产在时间t时的价格。20ST：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在 t 时刻的价值。F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本章中，如无特别说明，利率均为连续复利。211.无收益资产远期（期货）合约的定价组合A：一份远期合约多头,F(T,K),可购买一个单位的标的一笔数额为Ke- r（Tt）的现金；组合B：一单位标的资产，现期价格为S。在组合A中，Ke-r（T

12、t）的现金以无风险利率投资，投资期为（Tt）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（Tt）er（Tt）=K在远期合约到期时，这笔现好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。22根据无套利原则，这两种组合在t时刻(或现期t=0)的价值必须相等。即：f+ K e-r（Tt）= Sf = SK e-r（Tt）无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。又由于期初远期合约价值为零，即f=0，而使得远期合约为零的交割价格价格K即为远期价格F。即有F = Ser（Tt）23例1假设一年期的贴现债券价格为$950，3个月期无风险年利率为5

13、%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为：F = 950 e0.050.25 = $ 96224例2 考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合理交割价格应该为：F = 30e0.040.25= 30.30假设市场上该合约的交割价格为30.10元。期货合约价值被低估，应采取买期货卖股票战略。即套利者可以卖出股票将所得收入进行无风险利率投资3个月，到期可得资金30.30元。再用这笔资金按30.10支付期货交割，期末可以获得无风险收益30.3030.100.20元。反之，如果市场上的远期合约的

14、交割价格大于30.30元，比如30.40元（期货合约价值被高估）。 套利者可以借钱买入股票并卖出远期合约，期末（要还债30.30） 而卖期货收入30.40，获无风险净利30.40-30.30 = 0.10。252.标的在支付已知现金收益D远期合约定价组合A：一份远期合约多头一笔数额为Ke-r（Tt）的现金；组合B：一单位标的证券D一项借款，期限（0，t）因为已知在t时刻收到红利现金，现值为D。可以用于偿还B组合的借款，那么A组合与B组合在到期日都是一个单位的证Dert券。那么在期初它们的现值也应相等。ff+=KSe-r（Tt）=S-DtT0Ke-r（Tt）-D-26支付已知现金收益资产的远期合

15、约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。根据F的定义，我们可从上式求得：D )er（Tt）F = ( S -这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。其表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。由于存储成本可以看成负收益，设总存储成本为U，则有F = ( S + U )er（Tt）27例3假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001元，该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该

16、合约的价值。根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值：D = 60e-0.090.5+60e-0.101=111.65元根据公式，我们可算出该远期合约多头的价值为：f = 990111.651001e-0.11 = $27.39元相应地，该合约空头的价值为27.39元。283.支付已知收益率资产远期（期货）合约定价构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头一笔数额为Ke-r（Tt）的现金；组合B：e-q (T -t )单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。显然，组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B：一个单位的证券在Tt期间的全部利

17、息收入按连续复利计算恰好是：eq(。T -t )-129总收入是(eq(T -t ) - 1) e- q(T -t )= 1 - e- q(T -t )这些收入又都再投资该证券。即红利创造了 1- e-q(T -t )券单位。证e-q(T -t )再加上原先的证券，则共有1- e-q(T -t ) + e-q(T -t )= 1单位的证券。因此在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等，即：30+ Ke - r (T -t )= Se - q (T -t )= Se -q (T -t )- Ke -r (T -t )ff根据远期价格的定义，我们可根据公式（3.7）算出支付

18、已知收益率资产的远期价格：F = Se(r -q)(T -t )若任意时刻存储成本与商品价格成一定比例，设为那么这一比率可以看成是负的红利收益率。由上式有：F = Se(r+m )(T -t )31例4A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4， 无风险利率为10，若该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格。= Se( r -q )(T -t )F= Se-q(T -t ) - Ke-r (T -t )f= 25e0.060.5= 25.67美元= 25e-0.040.5 - 27e-0.10.5= -1.18美元所以该远期合约多头的价值为1.18美元。其

19、远期价格为：25.67美元325.远期（期货）价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期rF为TT*的无风险利率,到时刻的无风险远期利率。= Ser (T -t )*F *=Ser(T-t )33两式相除消掉S后,*F *= Fer(T-t ) - r (T -t )我们可以得到不同期限远期价格之间的关系：*F *= Fer(T-T )34例5假设某种不付红利股票6个月远期的价格为30元，目前市场上6个月至1年的远期利率为8，求该股票1年期的远期价格。根据公式，

20、该股票1年期远期价格为：F*30e0.080.5= 31.22元。读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。356.现货-远期（期货）平价定理对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格F = S er（Tt）的终值。 即：假设FSer（Tt），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为Tt。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位r（Tt），标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Se这就实现了FSer（Tt）的无风险利润

21、。36若FSe r（Tt），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为 F。在 T 时刻，套利者收到投资本息Ser（Tt），并以F 现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（Tt）-F的利润。377.外汇远期(期货)的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用rf表示。S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格，K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格，根据公式：= Se -q (T -t )- Ke -

22、r (T -t )f外汇远期合约的价值：f= Se -rf(T -t )- Ke-r (T -t )外汇远期和期货价格的确定公式：F= Se (r -rf )(T -t )38这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。398.远期利率协议的定价远期利率协议属于支付已知收益率资产的远期合约。远期利率协议多方（即借入名义本金的一方）的现金流为：AT 时刻：借入资金归还资金(T *-T )时刻： - AerKT*这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。0tTT

23、*40为此，我们将T与T*两个时点的现金流贴现到t 时刻，即：(T *-T ) e-r* (T *-t )= Ae-r (T -t )- AerKf*r(T-T ) + r(T - t) = r(T- t)又，代入上式有-T ) (T *-T )- r (T *-r (T -t )f= A - Ae er eKf= 0(远期利率)rK= r令即有即得远期利率协议的合同利率定价公式：r* (T *- t ) - r (T - t )rK= r =- TT *419.远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t时刻）约定买方在 结算日（T时刻）按照合同中规定的结算日直接远期汇率（K）用第二货币（本币）向卖方买入一定名义金额（A）的第一货币（外币），然后在到期日（T*时刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K*）把一定名义金额（在这里假定也为A）的外币出售给卖方的协议。根据该协议，多头的现金流为：T时刻： 收进A单位外币，支付AK本币。T*时刻：收进AK*单位本币，支付A外币。42T* tT t0T*到期日tT结算日43这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f）。为此，我们要先将本币和外币分别按相应期限的本币和外币无风