数列证明题型总结(教师版)附

1、一、解答题 ：1在数列中，a11，an12an2n.()设bn，证明：数列是等差数列；()求数列的前n项的和sn.【答案】()因为bn1bn1所以数列bn为等差数列()因为bnb1(n1)1n所以ann2n1所以sn120221n2n12sn121222n2n两式相减得sn(n1)2n12在数列an中，a1，an1an.()设bn2nan，证明：数列bn是等差数列；()求数列an的前n项和sn.【答案】()由an1an，得2n1an12nan1bn1bn1，则bn是首项b11，公差为1的等差数列故bnn，an.()sn123(n1)nsn123(n1)n两式相减，得：sn1sn23数列an的各

2、项均为正数，前n项和为sn，且满足4sn(an1)2(nn*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；()设bnan2an(nn*)，求数列bn的前n项和tn.【答案】()n1时，4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4sn4sn1(an1)2(an11)2aa2an2an1aa2an2an10(anan1)(anan1)20an0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1(nn*)()由()知bnan2an(2n1)22n1tnb1b2bn(121)(323)(2n1)22n113(2n1)(212322n1)n2n24数列an的各项

3、均为正数，前n项和为sn，且满足2an1(nn*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式an；()设bnan2n(nn*)，求数列bn的前n项和tn.【答案】()由2an1(nn*)可以得到4sn(an1)2(nn*) n1时，4a1(a11)2a2a110，即a11n2时，4an4sn4sn1(an1)2(an11)2aa2an2an1aa2an2an10(anan1)(anan1)20an0anan12故数列an是首项为a11，公差为d2的等差数列，且an2n1(nn*)()由()知bnan2n(2n1)2ntn(121)(322)(2n3)2n1(2n1)2n则2tn(122)(

4、323)(2n3)2n(2n1)2n1两式相减得：tn(121)(222)(22n)(2n1)2n122(2n1)2n1(32n)2n16tn(2n3)2n16(或tn(4n6)2n6)5已知数列an，其前n项和为snn2n(nn*)()求a1，a2；()求数列an的通项公式，并证明数列an是等差数列；()如果数列bn满足anlog2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前n项和tn.【答案】()a1s15，a1a2s222213，解得a28.()当n2时，ansnsn1n2(n1)2n(n1)(2n1)3n2.又a15满足an3n2，an3n2(nn*)anan13n23(n1)23(n2，

5、nn*)，数列an是以5为首项，3为公差的等差数列()由已知得bn2an(nn*)，2an1an238(nn*)，又b12a132，数列bn是以32为首项，8为公比的等比数列tn(8n1)6已知函数f(x)，数列an满足：a1，an1f(an)()求证：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；()记sna1a2a2a3anan1，求证：sn.【答案】证明：()an1f(an)，即，则成等差数列，所以(n1)(n1)，则an.()anan18，sna1a2a2a3anan188.7已知数列an的前三项依次为2，8，24，且an2an1是等比数列()证明是等差数列；()试求数列an的前n项和sn的

6、公式【答案】()a22a14，a32a28，an2an1是以2为公比的等比数列an2an142n22n.等式两边同除以2n，得1，是等差数列()根据()可知(n1)1n，ann2n.sn12222323n2n，2sn122223(n1)2nn2n1.得：sn222232nn2n1n2n12n12n2n1，sn(n1)2n12.8已知数列an的各项为正数，前n项和为sn，且满足：sn(nn*)()证明：数列s是等差数列；()设tnssss，求tn.【答案】()证明：当n1时，a1s1，又sn(nn*)，s1，解得s11.当n2时，ansnsn1，sn，即snsn1，化简得ss1，s是以s1为首项

7、，1为公差的等差数列()由()知sn，tnsss，即tn12(n1)n.得tn1(n1)n.得tnnn1n1，tn2.9数列an满足a11，an11(nn*)，记snaaa.()证明：是等差数列；()对任意的nn*，如果s2n1sn恒成立，求正整数m的最小值【答案】()证明：4(n1)44n3，即是等差数列()令g(n)s2n1sn.g(n1)g(n)0，g(n)在nn*上单调递减，g(n)maxg(1).恒成立m，又mn，正整数m的最小值为10.10已知数列an是首项a1，公比为的等比数列，设bn15log3ant，常数tn*.()求证：bn为等差数列；()设数列cn满足cnanbn，是否存

8、在正整数k，使ck1，ck，ck2成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由【答案】()证明：an3，bn1bn15log35，bn是首项为b1t5，公差为5的等差数列()cn(5nt)3，令5ntx，则cnx，cn1(x5)3，cn2(x10)3，若ccn1cn2，则(x3)2(x5)3(x10)3，化简得2x215x500，解得x10或(舍)，进而求得n1，t5，综上，存在n1，t5适合题意11在数列 an中，a11，an12an2n1.()设bnan1an2，(nn*)，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的通项an.【答案】()由已知an12an2n1得an22an12

9、n3，得an2an12an12an2设an2an1c2(an1anc)展开与上式对比，得c2因此，有an2an122(an1an2)由bnan1an2，得bn12bn，由a11，a22a135，得b1a2a126，故数列bn是首项为6，公比为2的等比数列()由()知，bn62n132n则an1anbn232n2，所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(3212)(3222)(32n12)13(222232n1)2(n1)an32n2n3，当n1时，a1321213651，故a1也满足上式故数列an的通项为an32n2n3(nn*)12在数列an中，a1，anan1(nn*且n2)

10、()证明：an是等比数列；()求数列an的通项公式；()设sn为数列的前n项和，求证sn.【答案】()由已知，得是等比数列()设anan，则a1a11，且q则an()n，an，可得an()sn()()()13已知数列an满足a12，an12ann1(nn*)()证明：数列ann是等比数列，并求出数列an的通项公式；()数列bn满足：bn(nn*)，求数列bn的前n项和sn.【答案】()证法一：由an12ann1可得an1(n1)2(ann)，又a12，则a111，数列ann是以a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann12n1，an2n1n.证法二：2，又a12，则a111，数列ann是以

11、a111为首项，且公比为2的等比数列，则ann12n1，an2n1n.()bn，bnsnb1b2bn2()2n()nsn()22()3(n1)()nn()n1由，得sn()2()3()nn()n1n()n11(n2)()n1，sn2(n2)()n.14在数列an中，a11，2nan1(n1)an，nn*.()设 bn，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的前n项和sn.【答案】()因为，所以bn是首项为1，公比为的等比数列()由()可知，即an，sn1，上式两边乘以，得sn，两式相减，得sn1，sn2，所以sn415设数列an的前n项和为sn，且sn(1)an，其中1，0.()证明：数列a

12、n是等比数列；()设数列an的公比qf()，数列bn满足b1，bnf(bn1)(nn*，n2)，求数列bn的通项公式【答案】()由sn(1)ansn1(1)an1(n2)，相减得：ananan1，(n2)，数列an是等比数列()f()，bn1，是首项为2，公差为1的等差数列；2(n1)n1，bn.16在等差数列an中，a1030，a2050.()求数列an的通项an；()令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；()求数列nbn的前n项和tn.【答案】()由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组，解得a112，d2.an12(n1)22n10.()由()得bn2an1022n1

13、01022n4n，4bn是首项是4，公比q4的等比数列()由nbnn4n得：tn14242n4n4tn142(n1)4nn4n1相减可得：3tn4424nn4n1n4n1tn17已知an是等差数列，其前n项和为sn，已知a311，s9153，()求数列an的通项公式；()设anlog2bn，证明bn是等比数列，并求其前n项和tn.【答案】() 解得：d3，a15, an3n2 ()bn2an，2an1an238，bn是公比为8的等比数列又b12a132, tn(8n1)18在数列an中，a13，an2an1n2(n2，且nn*)()求a2，a3的值；()证明：数列ann是等比数列，并求an的通

14、项公式；()求数列an的前n项和sn.【答案】()a13，an2an1n2(n2，且nn*)，a22a1226，a32a23213.()证明：2，数列ann是首项为a114，公比为2的等比数列ann42n12n1，即an2n1n，an的通项公式为an2n1n(nn*)()an的通项公式为an2n1n(nn*)，sn(2223242n1)(123n)2n2.19已知数列an满足a12，an13an2(nn*)()求证：数列an1是等比数列；()求数列an的通项公式【答案】()证明：由an13an2得an113(an1)，从而3，即数列an1是首项为3，公比为3的等比数列()由()知，an133n

15、13nan3n1.20已知数列an满足a12，an14an2n1，sn为an的前n项和()设bnan2n，证明数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；()设tn，n1，2，3，证明：i.【答案】()因为bn1an12n1(4an2n1)2n14(an2n)4bn，且b1a124，所以bn是以4为首项，以q4为公比的等比数列所以bnb1qn14n，所以an4n2n.()sna1a2an(4424n)(2222n)(4n1)2(2n1)(2n1)232n12(2n11)(2n12)(2n11)(2n1)，所以tn，因此i的n的最小值【答案】()证明：b1s1320，sn1snsn3n，即sn1

16、2sn3n，20，所以bn是等比数列()由()知bn2n，则cn，tn，tn，n2 011，即nmin2 012.25已知数列an满足：a11，an1(nn*)()求证：数列是等比数列；()若1，且数列bn是单调递增数列，求实数的取值范围【答案】()证明：1，12，120，所以数列是等比数列()12n，an，12n，bn12n(n)，bn2n1(n1)(n2)，b1适合，所以bn2n1(n1)(nn*)，由bn1bn得2n1(n1)2n(n)，n2，(n2)min3，的取值范围为|2 010的n的最小值【答案】()an13an2an1(n2)，(an1an)2(anan1)(n2)a12，a2

17、4，a2a120，anan10，故数列an1an是首项为2，公比为2的等比数列，an1an(a2a1)2n12n，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a12n12n22n321222n(n2)又a12满足上式，an2n(nn*)()由()知bn222，sn2n2n2n22n2.由sn2 010得：2n22 010，即n1 006，因为n为正整数，所以n的最小值为1 006.27已知数列an的前n项和为sn，满足sn+2n=2an（i）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式an；（）若数列bn满足bn=log2（an+2），求数列的前n项和tn【答案】（i

18、）证明：由sn+2n=2an，得sn=2an2n，当nn*时，sn=2an2n，当n=1时，s1=2a12，则a1=2，当n2时，sn1=2an12（n1），得an=2an2an12，即an=2an1+2，an+2=2（an1+2），an+2是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列，（）解：，bn=n（n+1），=1+=1=【解析】考点： 数列的求和；等比数列的通项公式专题： 综合题分析： （i）由sn+2n=2an，得sn=2an2n，由此利用构造法能够证明数列an+2是等比数列，并求出数列an的通项公式an（）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列的前n项和tn28数列an中，a11，当n2时，其前n项的和