工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

1、.测量误差理论一、 中误差估值 （也称中误差） ：m n（ i=1， 2， ， n）（ 6-8）i【例】设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组-3、 +3、 -1、 -3、 +4、 +2、 -1、 -4；第二组+1 、 -5、 -1、 +6 、 -4、 0、 +3、 -1。试比较这两组观测值的精度，即求中误差。解： m13 23 21 3 24 22 21 4 22.9 8m 215 216 24 203 213 .38由于 m1m2，可见第一组观测值的精度比第二组高。同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。另外

2、，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。二、相对误差： 观测值中误差 m的绝对值与相应观测值 S相比，并化为分子为 1、分母为整数的形式，即m1K（ 6-10）S S m三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S=106.28 m ，斜距的竖角8 30 ，斜距和竖角的中误差分别为ms5cm 、m 20 ，求斜距对应的平距 D 及其中误差 mD 。解：平距DS cos106.28cos8 30105.113m由于 DS cos是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“ d”得D cosSS sin再根据（ 6-29）式，可以直接写出

3、平距方差计算公式，并求出平距方差值.mD2(cos )2 mS2(S sin)2 ( m )2(cos8 30 )252 (106.28 sin 8 30 )2(20 ) 24.477(cm)2206265因此，平距的中误差为：mD=5 cm。则最终平距可表示为：D=105.113 0.050 m 。应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下：列独立观测值函数式z f (x1, x2 , xn )对函数式进行全微分dzf dx1f

4、 dx2fdxnx1x2xnf222m2f2f2写出中误差关系式x1m x1x2m x2m x nzxn应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值 。【例】 用长度为 l =30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m = 5 mm，求全长 D 及其中误差 m D 。解：列独立观测值函数式Dl1l 2l 10对函数式进行全微分dDdl 1dl 2dl 10mD22210 m2写出中误差关系式ml1ml 2m l10则，全长的中误差为m D =52525 25 1016mm如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l ，写出全长

5、D的中误差关系式并计算中误差mD=10m =105= 50mm。答案错误，原因在于错误地列出了函数式。【例】 设有函数式 Z=y1+2y2+1，而 y1=3x， y2=2x+2，已知 x的中误差为 mx，求 Z的中误差。解：若直接利用式（6-16 ）和（ 6-23 ）计算，则函数 Z的中误差m22(3mx )24 (2m x )25 mxZm y4m y21上面答案是错误的！这是因为y1和 y2 均是 x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。正确的做法是先将y1和y2代入函数式 Z，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即Z3 x 2( 2 x 2

6、 ) 1 7 x 5m Z7 m x.【例】对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及其中误差。计算见表6-3。表63 利用观测值的改正数计算观测值中误差序号观测值 L改正数 VVV精度评定（ m）（cm）（cm）1251.52-39L1257. 47最或是值： xm2251.46+39n5251.493251.4900观测值中误差：mVV202. 2cm4251.48-11n 15 15251.50+11最或是值中误差：Mm2.21cmn5L=1257.47 V=0 VV=20观测成果： x=251.494 0.01m四、加权平均值及其中误差【例】 已知

7、观测值分别为L1、L、L ，其中误差分别为 m1= 1、 m = 2、 m = 3 ,2323则它们的权分别为：取 =1时，p1m121, p2m221 , p3m32149取 =4时，p14,p21,p34m12m22m329取 =36时， p1m1236,p2m229,p3m324【例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。设在A、 B两点间进行水准测量，共设置了n 个测站，各测站的高差分别为h 1、 h 2、 h n，则 A 、B 点间的高差 h AB 为hAB=h+h+ +hn（ 6-38）12若每个测站的高差中误差为m 站 ，则根据误差传播定律可得h AB 的中误差为mhABm站

8、n（ 6-39）若设每测站的水准距离相等，均为s，则 A 、B 间的水准测量距离 S AB =n s，由式（ 6-39 ）可得 h AB 的中误差mhABm站SABm站SAB（6-40）ssm站SAB。当 S AB =1 km 时， mh AB =m设，则式（ 6-40 ）变为 mhAB公里 =，可见s为每公里水准测量高差的中误差。因此，式（6-40 ）变为mhABm公里SAB（ 6-41）.由式（ 6-39 ）和（ 6-41 ）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。若取 c 个测站的观测高差中误

9、差为单位权中误差，根据权定义式（ 6-37）和式（ 6-39 ），可得观测高差 hAB 的权为22cPhm站 cmh2ABm站2 nn（ 6-42）AB若取 c公里观测高差的中误差为单位权中误差m公里 ，根据定义权公式（6-37）和式（ 6-41 ），可得观测高差 hAB 的权为22cPh ABm公里 cmh2ABm 公2里 S ABS AB（ 6-43）由（ 6-42 ）和（ 6-43 ）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。所以， 通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。【例】 在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n

10、1、 n 2、 n n进行 n 批观测，得相应的算术平均值为L1、 L2、 Ln ，求 L 1、 L2 、 Ln 的权。解：设各观测值的中误差分别为m 1、 m 2、 、 m n ，且观测一次的中误差均为m ，则m 1m,m 2m,m nmn 1n 2n n因此，相应的权为p i2 n i，再令c，则 pic ni ，若取 c= 1，则222m immmn ipini（ 6-44 ）可见，在相同的观测条件下，算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。设 n 个不等精度观测值 L 1、L 2、 L n，相应的权分别为 P1 、P2、 Pn，则最或然值（称为加权平均值 ）为p1 L1p2 L2pn

11、 L n pL（ 6-45）xp2pn pp1可以看出，当各观测值为等精度时， 则权 P1=P2= =Pn =1，上式就与算术平均值计算式（ 6-31）相同。下面根据式（6-45）推算加权平均值的中误差。设观测值L1、 L2、 Ln的中误差分别为m1、 m2 、 mn，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为.M xP1 22P222Pn22（ 6-46）P2 m 12 m 22 m nPP6-37），有 mi22由权定义式（，代入式（6-46 ）可得piP12P22Pn22（ 6-47）M x( P1P2Pn )P2P2P2P2P实际计算时，上式中的单位权中误差可用观测值的改正数来计算，其

12、计算公式为PVV（ 6n1将式（ 6-48）代入式（6-47），可得加权平均值的中误差计算公式-48）M xPvvPP ( n1 )（ 6-50）【例】 如图 6-3所示，从已知水准点 A 、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程 H i及水准路线长度 Si（见表 6-4），求 E点的加权平均值及其中误差。各条水准路线权：pi1（由式 6-43 可得）Si加权平均值：x pH 527.469 (m ) p加权平均值中误差：M x pvv8.84 () p( n 1)mm则E点高程：HE=527.469 0.009（ m）图6-3 不等精度水准路线表 6-4不等精度高程计算表观测路线E点观测高

13、程观测路线长度观测高程权观测值的改正数PVVH i(m)Si (km)piv ix Hi(mm)1527.4594.50.221022.002527.4843.20.31-1569.753527.4584.00.251130.25五、思考题习题：.1.观测条件主要由那些因素构成？2.观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？试举例说明。3.在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号：（1）视准轴与水准管轴不平行；（2）仪器下沉；（ 3）读数不准确； （ 4）水准尺下沉； （ 5）水准尺倾斜。4.何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？5.偶然误差的统计规律是什么？

14、偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?6.已知两段距离的长度及其中误差分别为：300.465 m4.5 cm 及 660.894 m4.5 cm，试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对中误差是否相等？7.在三角形 ABC 中，已测出A 3000 4 , B60 00 3 , 求 C 的值及其中误差。8两个等精度观测角度之和的中误差为10 ，问每个角的观测值中误差是多少？9.以相同精度观测某角 5 次，观测值分别为3940.5 、 39 40.8 、 39 40.9 、 39 40.8 、 3940.6 ，试计算该角的最或然值及其中误差。10. 丈量两段直线得 D 1=164.86m,D

15、2=131.34m, 其中误差分别为mD10.04m, mD 20.03m ，求：（1）每段直线的相对中误差； （ 2）两段直线之和的相对中误差； （3）两段直线之差的相对中误差。11. 在水准测量中 , 已知每次读水准尺的中误差为2mm , 假定视线平均长为 50m，容许误差为中误差的两倍，求测段长为 Skm 的水准路线往返测高差的容许闭合差应为多少？12. 水准测量从点 A 到点 B，如附图所示。已知 A、 B 点高程分别为 H A 50.145m,H B48.533m 。观测高差及其水准测量距离分别为：h12.134m,S14km;h22.131m,S22km;h32.127m,S33k

16、m;h40.527m,S42km;求C点的最或然高程及其中误差。附图13. 等精度观测了 12 个三角形的所有内角，求得每个三角形的闭合差见附表，试计算测角中误差。附表三角形编号123456789101112闭合差 ( )3.2-1.61.4-2.50.72.3-3.12.5-1.8-0.92.7-2.2参考答案：7. C 90 00 58 7.0719 39 40.7 0.110 111141214378592467011 42S(mm)512. 48.012 0.002(m).13. 为真误差，可得三角形内角和的中误差2. 2 ，则测角中误差 mM。M1.3n3.六、追加练习：1. 对某基线丈量六次，其结果为：L1 246.535m， L 2 246.548m， L3 246.520m，L 4 246.529m， L 5 246.550m ， L 6 246.537m。试求： (1)算术平均值 ; 246.5365m(2)每次丈量结果的中误差；11.36