大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习)

1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域） （ ）ua,x | xaua,x | 0xa第二节数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列xn ，证明 limxnax【证明示例】n 语言.无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x 为有界函数，g x 为无穷小，则 limf xg x0（定理四） 在自变量的某个变化过程中，若 fx为无穷大， 则 f 1x为无穷小； 反之，若 fx为无穷小，且 fx0，则 f1x为无穷大【题型示例】计算：limf xgx（或 x）xx01 f x m 函数 f x在 xx0 的任一去心

2、邻域 ux0 ,内是有界的；（ f x m ，函数 fx在 xd 上有界；）1由 xna化简得 ng， ng2即对0，ng，当 nn 时，始终有不等式 xna成立， lim xnax第三节函数的极限 xx0 时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数fx，证明 lim fx ax x02 limg x0 即函数 g x是 xx x0（ lim g x0 即函数 g x是 xx3由定理可知limf x gxxx0（ limf xgx0 ）x第五节 极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则x0 时的无穷小；时的无穷小；）0【证明示例】语言1由fxa化简得 0xx0g，

3、g2即对0 ，g，当 0x x0时，始终有不等式f xa成立， limf xax x0 x时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数f x，证明 lim fxax【证明示例】x 语言1由 fx a化简得 xg， x g2即对0 ，xg，当 xx 时，始终有不等式fxa成立， lim f xax第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数 f x 无穷小lim f x0函数 f x 无穷大lim f x关于多项式p x 、 q x 商式的极限运算p xa0 xma1xm 1am设：q xb0xnb1 xn 1bnnm则有 lim p xa0nmxq xb00nmfx0gx00gx0fxgx00

4、, f x00limxx x0 g0gx0f x000（特别地，当 limfx0（不定型）时，通常分gx0x x0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值lim x3x3 x29;.【求解示例】解：因为x3，从而可得x3 ，所以原式 lim x3limx3lim11x 3 x29x 3 x 3 x 3x 3 x 3 6其中 x 3 为函数 fxx3 的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0x3解： lim x230lim11limx 3 x9 l x 3x29x 3 2 x6连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解） （）

5、（定理五）若函数 f x 是定义域上的连续函数，那么， lim fxflimxxx0xx0【题型示例】求值：limx3x29x3【求解示例】 limx3limx316x29966x 3x 3 x2第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（ p53）（）第一个重要极限：lim sin x1x0x x0,， sin xxtanx lim sin x12x0xx1lim1limlimx01sin xx 0 sin x x0 sin xlimxxx0（特别地， limsin( xx0 )1）x x0xx0单调有界收敛准则（p57）（）1x第二个重要极限：lim1exxg xlim g x（一般地， l

6、imfxlimf x，其中lim f x0 ）2x3x 1【题型示例】求值：limx2x1【求解示例】.x1x 1x 1解：2 x3lim2 x12lim12lim2 x12x12 x1xx2x 12x 12 x122x 12 x2x 121lim122 x1lim122x112 x 12 x12 x2 x1lim2x12 x 12 x1222limx 12 x 1lim12 x 12 x1e2 x 1lim2x22x112 x 1eee第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1u sinu tanu arcsinu arctanu ln(1u )eu121 u 2 1cosu2（乘除

7、可替，加减不行）【题型示例】求值：lim ln 1x2x ln 1xx0x3x【求解示例】解：因为 x0,即x0,所以原式lim ln 1x2x ln 1xx 0x3xlim 1xln 1xlim 1xxlim x11x 0x x 3x 0 x x 3x 0 x 3 3第八节函数的连续性函数连续的定义（）lim f xlim f xf x0x x0x x0间断点的分类（p67）（）跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数fxe2 x，x0 应该怎样选axx0择数 a ，使得

8、f x成为在 r 上的连续函数？【求解示例】f0e2 0e1e1f0a0af0a2由连续函数定义limf xlimf xf 0 ex0x 0 ae;.第九 区 上 函数的性 零点定理（）【 型示例】 明：方程 fxg xc 至少有一个根介于 a 与 b 之 【 明示例】1（建立 助函数）函数xfxg xc 在 区 a, b 上 ；2ab0 （端点异号）3由零点定理，在开区 a,b 内至少有一点，使得0 ，即fgc01）（ 04 等式 明方程fxgxc 在开区 a,b内至少有一个根第二章 数与微分第一 数概念高等数学中 数的定 及几何意 （p83）（）【 型示例】 已知函数 fxex1，x0 在

9、 x 0axbx0 可 ，求 a ， b【求解示例】1f 0 e01 ， f 0e01 e01 2f0 af0be0f0122由函数可 定 f0f0a1f0f0f0b2 a 1,b 2【 型示例】求yfx在 xa 的切 与法 方程（或： yfx 像上点a, fa 的切 与法 方程）【求解示例】1 yf x ， y |x af a2切 方程： yfafaxa法 方程： yfa1xafa第二 函数的和（差） 、 与商的求 法 函数和（差） 、 与商的求 法 （）1 性 合（定理一） ： ( uv)uv特 地，当1 ，有 (uv) uv2函数 的求 法 （定理二）： (uv)u vuv3函数商的求

10、法 （定理三）uu vuv：v2v第三 反函数和复合函数的求 法 反函数的求 法 （）.【 型示例】求函数f1x的 数【求解示例】由 可得fx 直接函数，其在定于域d上 、可 ，且fx0；f1xf1x复合函数的求 法 （）【 型示例】 ylnearcsin x 21x2a2，求 y【求解示例】解： yarcsinx211x2a2earcsinx21x2a 2e1arcsinx21x21x2a2earcsinx21x2a2e1x212x2a22x1arcsinx212x212xearcsinx2 1x2a2e2x22 x2a21arcsinx21xxearcsinx2 1x2a2ex212x2x

11、2a2第四 高 数 fn xfn 1x（或 d n yd n 1 y）（）dxndx n1【 型示例】求函数yln 1x 的 n 数【求解示例】y11x1，1 xy1x111x2 ，y1 1x21213xy n( 1)n 1 (n 1)！(1 x) n第五 函数及参数方程型函数的 数 函数的求 （等式两 x 求 ）（）【 型示例】 求：方程yxey 所 定的曲 c ：y y x 在点 1 e,1 的切 方程与法 方程【求解示例】由yx ey 两 x 求 即 y xey化 得 y1eyy11 y1 e1 e1切 方程：y1x1e11 e;.法线方程： y 11e x1 e参数方程型函数的求导【题

12、型示例】设参数方程xt，求 d 2 yytdx2d 2 ydydytdx【求解示例】 1.2.dx 2tdxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（）dyfxdx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】 现假设函数fx 在 0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得 fcosfsin0 成立【证明示例】1（建立辅助函数）令xfx sin x显然函数x 在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2又0f0 sin00fsin0即003由罗尔定理知0,，使得 fcosfsin0 成立拉格朗日中值

13、定理（）【题型示例】证明不等式：当x1时， exe x【证明示例】1（建立辅助函数）令函数fxex ，则对x1 ，显然函数fx 在闭区间1, x 上连续，在开区间1, x 上可导，并且fxex ；2由拉格朗日中值定理可得，1,x 使得等式exe1x 1 e 成立，又 ee1 ， exe1x1 e1e xe，化简得 exe x ，即证得：当x1 时， exe x【题型示例】证明不等式：当x0 时， ln 1xx【证明示例】1（建立辅助函数）令函数fxln 1x ，则对.x 0 ，函数 f x 在闭区间 0, x 上连续，在开区间 0,上可导，并且 fx1 ；1x2 由拉格朗日中值定理可得，0,

14、x使得等式ln 1xln110 成立，0x1化简得 ln1 x1，又0, x，x1 f11， ln 1 x1 x x ，1即证得：当 x1时， exe x第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件a 属于两大基本不定型（0 , ）且满足条件，0fxfx则进行运算： limxlimxx a gx a g（再进行 1、 2 步骤，反复直到结果得出）b 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：lim xln xx 0【求解示例】ln xln x1解：xln x limlimli

15、mlim xx 1x 0x 0 1 l x 0x 0x1x2x1 lim x0a x 0（一般地， lim xln x0 ，其中 ,r ）x 0 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim11sin xxx0【求解示例】解：11limxsin xlimx sin xlimsin xxx sin xx2x0x 0x 00xsin x01cosx0limlim 1cos x 0limlim sin x0l x 0x2x 02xl x 02xx 02 00 型（对数求极限法）;.【题型示例】求值：lim xxx 0【求解示例】解：设yx,两边取对数得：ln xxln xxln yxln x

16、1x对对数取x时的极限：limln xln x0lim ln y1limx0x0lx 0x1x1x，从而有ln ylim ln y0x 0limlim xlim ylim eee 10x01x 0x0x 02x 1 型（对数求极限法）1【题型示例】求值：limcos xsin x xx 0【求解示例】ln cos xsin x解：令 ycosx sin x1,x , 两边取对数得 ln yx对 ln y求x0时的极限，limln ylncos xsin xlimxx 0x00ln cos x sin xcos xsin x10从而可得0limlimsin x101,l x0xx0 cos xl

17、im y= lim eln ylim lnye1eex 0x 0x 0 0 型（对数求极限法）1tan x【题型示例】求值：limx 0x【求解示例】tan xtan x ln 1 ,解：令 y1,两边取对数得 ln yxx对ln y求x时的极限，limtan x10lim ln ylnx0x 0xln xln x1limlimx1lim2x0lx0x 0sec xtan x1tan2xtan x0sin2 xlimsin 2 x 0lim2sin xcos x0,xlxli m1x 0x 0x0lim ln y从而可得 lim y= lim eln ye01ex0x 0x0运用罗比达法则进行

18、极限运算的基本思路（）.0000(1)(2)(3)010通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性连续函数单调性（单调区间） （）【题型示例】试确定函数fx2x39x212 x3 的单调区间【求解示例】1函数fx 在其定义域 r 上连续，且可导 f x 6x2 18x 122令 fx6x1x20，解得：x11, x223（三行表）x,111,222,fx00fx极大值极小值4函数 f x 的单调递增区间为,1 , 2,；单调递减区间为1,2【题型示

19、例】证明：当x0 时， exx1【证明示例】1（构建辅助函数）设xexx1 ，（ x0）2x ex1 0 ，（ x0 ）x003既证：当 x0 时， exx 1【题型示例】证明：当x0 时， ln 1x x【证明示例】1（构建辅助函数）设xln 1xx ，（ x0 ）2110，（ x 0）x1 x x0 03既证：当x0 时， ln 1xx连续函数凹凸性（）【题型示例】 试讨论函数 y 1 3x2 x3 的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】;.x 则称为积分变量）y3x26x3xx21y6x66x1y3x x 2 0x10, x222令6x10解得：1yx3（四行表）x ( ,0)0(0,

20、1)1(1,2)2(2,)y00yy1(1,3)54函数 y 13x2x3 单调递增区间为(0,1), (1,2)单调递增区间为(,0) , (2, ) ；函数y13x2x3 的极小值在x0 时取到，为 f 0 1，极大值在 x2 时取到，为 f25 ；函数 y13x2x3在区间 (,0) , (0,1) 上凹，在区间 (1,2) , (2,) 上凸；函数 y13x2x3的拐点坐标为1,3第五节 函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数f x的定义域为d ，如果xm 的某个邻域 uxmd ，使得对x uxm，都适合不等式 f xfxm，我们则称函数fx在点xm , fxm处有极

21、大值 f xm ；令 xmxm 1, x, xm 3,., xmnm 2则函数 fx在闭区间a, b 上的最大值 m 满足：mmax fa, xm 1, xm 2 , xm 3 ,., xmn , f b ；设函数 fx的定义域为 d ，如果xm 的某个邻域uxmd ，使得对xuxm，都适合不等式 f x f xm ，我们则称函数fx 在点xm, fxm处有极小值fxm；令 xm xm1 , xm2 , xm3 ,., xmn则函数 fx在闭区间a, b 上的最小值m 满足：m minfa , xm1, xm2 , xm3 ,., xmn , fb ；【题型示例】求函数f x3x x3 在 1

22、,3上的最值.【求解示例】1函数 f x 在其定义域1,3 上连续，且可导 fx3x232令 f x3 x 1 x 1 0 ，解得： x11,x213（三行表）x11,111,3fx00fx极小值极大值4又 f12, f 12, f318 fx maxf 12, fxminf318第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间i 上，可导函数 fx的导函数为 fx，即当自变量 xi 时，有 fxf x 或dfxfx dx 成立，则称fx为 fx 的一个原函数原函数

23、存在定理： （）如果函数fx 在定义区间 i 上连续，则在i 上必存在可导函数f x 使得 fxfx ，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间 i 上，函数 fx 的带有任意常数项c 的原函数称为fx 在定义区间 i 上的不定积分，即表示为：fx dxfxc（称为积分号，fx 称为被积函数，fx dx 称为积分表达式，基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1 fxk2 g xdxk1fx dxk2g x dx第二节换元积分法第一类换元法（凑微分）（）（ dyfxdx 的逆向应用）fxx dxfxdx;.【题型示例】求12 dx2xa【求解示例】解： 2 12 dx12 dx112