蔡中兵《材料力学》8组合变形及连接部分的计算

1、第八章 组合变形及连接部分的计算,8-1 概述,8-2 两相互垂直平面内的弯曲,8-3 拉伸（压缩）与弯曲,8-4 扭转与弯曲的组合,8-5 连接件的实用计算法,8-6 铆钉连接的计算,一、组合变形的概念 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形.,二、解决组合变形问题的基本方法叠加法,叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系.,8-1 概述,三、工程实例,1.外力分析 将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,使之每个力（或力偶）对应一种基本变形,3.应力分析 画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠

2、加,建立危险点的强度条件,四、处理组合变形的基本方法,2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形,1、轴向拉伸或压缩,外力或其合力作用线沿杆件轴线。,外力特点：,变形特点：,杆件的主要变形为轴向伸长或缩短。,五、基本变形及其应力计算回顾,1、轴向拉压,2、扭转,杆件受到一对等值、反向、作用面垂直于轴线的力偶作用。,外力特点：,变形特点：,杆件的主要变形是任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。,2、圆轴扭转,3、弯曲,杆件受到垂直于轴线的横向力或包含轴线的纵向平面内的力偶作用。,外力特点：,变形特点：,杆件的主要变形是轴线由直线变为

3、曲线。,3、纯弯曲及横力弯曲时截面上的正应力,由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。,4、横力弯曲时矩形截面上的切应力,在截面的两端，y = h/2,在中性层，y =0,如图切应力分布规律,具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。,故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。,8-2 两相互垂直平面内的弯曲,两相互垂直平面内弯曲时的应力计算,在集中力F1 、 F2 作用下（双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁将分别在

4、水平纵对称面(Oxz)和铅垂纵对称面(Oxy)内发生对称弯曲。,在梁的任意横截面m-m上，F1 、 F2引起的弯矩为,在F2 单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为中性轴。 在F1 单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，y轴为中性轴。 叠加之后是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。,(2) F1单独作用下,求应力：m-m截面上第一象限某点C(y，z) (1) F2单独作用下,(3) 当F1 和F2共同作用时，应用叠加法,C点的正应力为,危险点：m-m截面上 角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远。,强度

5、条件：B、D角点处的切应力为零，按单轴应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则此时的强度条件为,中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程,上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线, E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。,是横截面上合成弯矩 M 矢量与 y 轴间的夹角。,一般，截面IyIz，即，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内。,对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得= ，即是平面弯曲。,中性轴与y轴的夹角为,1、受力特点,杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形,作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力,还有横向力,2、变形特点

6、,8-3 拉伸（或压缩）与弯曲的组合,F1 产生弯曲变形,F2 产生拉伸变形,Fy 产生弯曲变形,Fx 产生拉伸变形,示例1,示例2,一、横向力与轴向力共同作用,3、内力分析,横截面上内力,（2）.弯曲 ,（1）.拉(压) :轴力 FN,弯矩 Mz,剪力Fs,因为引起的切应力较小,故一般不考虑.,横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应力计算公式为,4、应力分析,（ 1）.拉伸正应力,（2）.弯曲正应力,轴力,所以跨中截面是杆的危险截面,F2,F2,l/2,l/2,（3）.危险截面的确定,作内力图,弯矩,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为,（4）.计算危险点的应

7、力,F2,F2,l/2,l/2,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.,5、强度条件,由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态,故其强度条件为:,例题 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许用应力为=125MPa.校核横梁AB的强度.,解：（1） 分析AB的受力情况,AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形,中间截面为危险截面.最大压应力发生在该截面的上边缘,（2） 压缩正应力,（3） 最大弯曲正应力,（4）危险点的应力,二、偏心拉（压） 截面核心,1.定义

8、 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时, 将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形.,x,y,z,以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例,（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式,轴向拉力 F,力偶矩 M = F e，,将 M向y轴和z轴分解,F 使杆发生拉伸变形,My 使杆发生xOz平面内的弯曲变形（y 为中性轴）,Mz 使杆发生 xOy 平面内的弯曲变形（z 为中性轴）,2、任意横截面n-n上的内力分析,轴力 FN= F,弯矩,3、任意横截面 n-n 上C 点的应力分析,由 F产生的正应力,由 My 产生的正应力,由 Mz 产生的正应力,由于 C

9、 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,由叠加原理,得 C点处的正应力为,均为拉应力,式中,A为横截面面积;,Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;,（zF，yF ） 为力 F 作用点的坐标;,（z，y）为所求应力点的坐标.,例：厂房柱的下端与基础固定，其形状、尺寸、加载方式 如图所示（图中长度单位为毫米）。试求柱横截面上 的最大正应力|max。,例题 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍.,F,F,1,1,未开槽前立柱为轴向压缩,解：,F,开槽后1-1是危险截面,危险截面为偏心压缩,将力 F 向1-1形

10、心简化,例：链条中的一环为开口链环，由直径为d的实心圆杆弯制 而成，其形状、尺寸、加载方式如图所示，已知 d=30mm，e=60mm，材料的=120 Mpa，试求此开口 链环的许可载荷Fp。,上式是一个平面方程.表明正应力在横截面上按线性规律变化.应力平面与横截面的交线（直线 = 0）就是中性轴.,4、中性轴的位置,令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程,讨论,（1）在偏心拉伸 (压缩) 情况下, 中性轴是一条不通过截面形心的直线,y,z,O,（2） 用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距,则有,（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧,z,（4

11、）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区,横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点,(a),(b),(c),y,y,z,z,（5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定,y,z,FyF/Wz,最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D2 处.无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可,5、强度条件,由于危险点处仍为单轴应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为,y,z,截面核心,1.定义 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或

12、压应力）,这个区域就称为截面核心,三、截面核心,y,z,三、截面核心,（yF，zF）为外力作用点的坐标,ay,az为中性轴在y轴和z轴上的截距,当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图形上将只有拉应力或只有压应力,y,z,y,z,y,z,y,z,当外力作用在截面核心的边界上时,与此相应的中性轴正好与截面的周边相切.截面核心 的边界就由此关系确定.,2.截面核心的确定,例题 矩形截面柱如图所示,F1的作用线与杆轴线重合, F2作用在 y 轴上.已知:F1= F2=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的 m-m 截面只出现压应力,求F2的偏心距e.,解：,（1）外力分析 将力 F2 向截面

13、形心简化后,梁上的外力有,轴向压力,力偶矩,F1,m,m,（2）m-m 横截面上的内力有,轴力,弯矩,轴力产生压应力,弯矩产生的最大正应力,（3）依题的要求,整个截面只有压应力,得,F1,m,m,例题 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力 t =30MPa ,许用压应力 c =160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F.,50,50,150,150,解：（1）确定形心位置,A=1510-3 m2,z0 =7.5 cm,Iy = 5310 cm4,计算截面对中性轴 y 的惯性矩,50,50,150,150,（2） 分析立柱横截面上的内力和应力,在 n-n 截面上有轴力 FN

14、及弯矩 My,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由轴力 FN产生的拉伸正应力为,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,n,n,350,F,F,（3）叠加,在截面内侧有最大拉应力,50,50,150,150,n,n,350,F,F,在截面外侧有最大压应力,F 45.1 kN,所以取,50,50,150,150,n,n,350,F,F,例 校核松木矩形截面柱的强度。已知：F1=50kN，F2=5kN, e=2cm，c=12MPa，t=10MPa，H=1.2m，b=12cm,h=20cm。,解,确定危险截

15、面,经分析：危险截面在固定端,轴力FN=F1，弯矩My=F2H，Mz=F1e,最大压应力在D点：,最大拉应力在A点：,故该松木柱的强度足够。,例 求圆形截面的截面核心,y,z,O,d,解: （）作切线 为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为,圆截面的惯性半径,（）由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以d/8为半径的圆,解:作切线 为中性轴，得两截距分别为,矩形截面的,例 求矩形截面的截面核心,（2）同理,分别作切线 、 、 ， 可求得对应的核心边界上点的坐标 依次为,（3）矩形截面核心形状分析,直线绕顶点B旋转到直

16、线时,将得到一系列通过 B点但斜率不同的中性轴,而 B点坐标 yB , zB 是这一系列中性轴上所共有的.,这些中性轴方程为,上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程.,故外力作用点移动的轨迹是直线.,（a）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心,（b）对于周边有凹进 部分的截面（如T字形截面）,能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴,因为这种直线穿过 横截面.,（4）讨论,研究对象 圆截面杆,受力特点 杆件同时承受转矩和横向力作用,变形特点 发生扭转和弯曲两种基本变形,8-4 扭转与弯曲的组合,一、 内力分析,设一直径为d 的等直圆杆AB, B端具有与AB成直角的刚臂.

17、研究AB杆的内力.,将力 F 向 AB 杆右端截面的形心B简化得,横向力 F （引起平面弯曲）,力偶矩 M= Fa （引起扭转）,AB 杆为弯曲与扭转组合变形,画内力图确定危险截面,固定端A截面为危险截面,Fl,二、应力分析,危险截面上的危险点为C1 和 C2 点,最大扭转切应力发生在截面周边上的各点处.,危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 、C2 处,对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的.可取任意点C1 来研究.,C1 点处于平面应力状态, 该点的单元体如图示,三、强度分析,1.主应力计算,2.相当应力计算,第三强度理论,计算相当力,第四强度理论,计算相当应力

18、,3.强度校核,该公式适用于图示的平面应力状态. 是危险点的正应力, 是危险点的切应力.且横截面不限于圆形截面,讨 论,该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形,（1）,弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为,（2）对于圆形截面杆有,式中W为杆的弯曲截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.,例题 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外径 D=140mm,内外径之比= d/D=0.8,材料的许用应力 =160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度,A,B,C,D,1.4m,0.6

19、m,15kN,10kN,0.8m,解:（1）外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得,AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形,（2）内力分析画扭矩图和弯矩图,固定端截面为危险截面,例题 传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶矩Me=1kNm,皮带轮直径D=300mm,皮带轮紧边拉力为F1,松边拉力为F2.且F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径,解:将力向轴的形心简化,轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲,中间截面为危险截面,1kNm,例题 图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力 5 kN,径向力 1.82 kN;齿轮 D上作用有水平切向力

20、10 kN,径向力 3.64 kN.齿轮 C 的节圆直径 d1 = 400 mm,齿轮 D 的节圆直径d2=200mm.设许用应力 =100 MPa,试按第四强度理论求轴的直径.,解:（1）外力的简化,将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化,B,A,C,D,y,z,5kN,10kN,300mm,300mm,100mm,x,1.82kN,3.64kN,1 kNm使轴产生扭转,5kN,3.64kN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲,1.82kN,10kN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲,（2）轴的变形分析,T = 1kNm,圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形,由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对

21、称平面,故轴在xz和xy两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲,从而可用总弯矩来计算该截面正应力,1,C,T 图,-,My图,0.57,C,B,0.36,（3）绘制轴的内力图,B 截面是危险截面,（4）危险截面上的内力计算,B和C截面的总弯矩为,（5）由强度条件求轴的直径,轴需要的直径为,例题 F1=0.5kN,F2=1kN,=160MPa.,（1）用第三强度理论计算 AB 的直径,（2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力 F3 = 20kN,校核AB杆的强度.,F1,A,B,C,400,400,解:将F2向AB杆的轴线简化得,AB为弯扭组合变形,固定端截面是危险截面,AB 为弯

22、,扭与拉伸组合变形,固定端截面是危险截面,（2） 在 B 端加拉力 F3,F1,A,B,C,400,400,固定端截面最大的正应力为,最大切应力为,F1,A,B,C,400,400,由第三强度理论,一、基本概念和实例,1.工程实例,（1） 螺栓连接,8-5 连接件的实用计算法,（2） 铆钉连接,铆钉、键、螺栓、销钉等起到连接作用的构件。,（3） 键块联接,（4） 销轴联接,2.受力特点,以铆钉为例,构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用.,4.连接处破坏三种形式:,钢板在受铆钉孔削弱的截面处， 应力增大，易在连接处拉断.,（2）挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃

23、压连接松动，发生破坏.,（3）拉伸破坏,（1）剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如沿n-n面剪断 .,二、剪切的应力分析,1.内力计算,FS - 剪力,2.切应力,式中， FS - 剪力,As-剪切面的面积,3.强度条件(Strength condition), 为材料的许用切应力 (Allowable shearing stress of a material),(factor of safety),n - 安全因数,- 剪切极限应力,(ultimate shearing stress),螺栓与钢板相互接触的侧面上,发生的彼此间的局部承压现象,称为挤压 (bearing).,三、挤压的应力分析,

24、在接触面上的压力,称为挤压力 (bearing force),并记为Fbs,1.挤压力(Bearing force) Fbs = F,（1）螺栓压扁,（2）钢板在孔缘压成椭圆,2.挤压破坏的两种形式 (Two types of bearing failure),3.挤压应力(Bearing stress),Fbs -挤压力 (bearing force),Abs -挤压面的面积 (area in bearing),4.强度条件(Strength condition),bs-许用挤压应力(allowable bearing stress),挤压现象的实际受力如图 所示.,（1）当接触面为圆柱面时, 挤压面积 Abs为实际接触面在直径平面上的投影面积,挤压面的面积计算,（2）当接触面为平面时, Abs 为实际接触面面积.,四、强度条件的应用(Application of strength conditions),（1）销钉的剪切面面积 As,（2）销钉的挤压面面积 Abs,思考题,解：（1）键的受力分析如图,例题 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm, 键的尺寸为bhL=20 12 100mm,传递的扭转力偶矩Me=2kNm,键的许用切应力为= 6