二用数学归纳法证明不等式

1、2.3数学归纳法,辉县市高级中学：张璞,复习：,综合法：由条件到结论； 分析法：由结论到一明显成立的条件； 反证法：假设原命题不成立，推出矛盾，则假设不成立，从而结论成立,提出问题：,对于数列，已知，,写出数列前4项,并猜想其通项公式 ;同学们,你能验证 你的猜想是不是正确的吗?,猜想:,数学归纳法：,对于某些与 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0时命题成立；,2.假设当n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这俩个步骤,就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法。,正整数n,问题情境,

2、多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,例1、对于数列已知， 猜想： ， 能用数学归纳法对你的猜想进行证明吗？,证明：(1)当时， ，命题成立；,(2)假设当时 ，,那么当 时，,这就是说，当时，等式也成立,由(1)和(2)，可知猜想成立，即,(1).试问等式2+4+6+2nn2+n+1 成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该生得到的结论对吗？,解:设nk 时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k

3、+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3 左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何nN*都成立，为时尚早,请你来批作业,练习1.,(2).用数学归纳法证明：,证明：,第二步的证明没有用上归纳假设!,请你来批作业,练习2、已知n2， 求证：(1+3)n1+3n ,（2）假设时，不等式成立，即(1+3)k1+3k 当n=k+1时， 左边=(1+3)k+1=(1+3)k(1+3)(1+3k)(1+3)=1+3 (k+1) +32k 1+3 (k+1) =右边 即原不等式当n=k+1时也成立 根据(1)和(2

4、)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.,证明： （1）当n=2时，左(13)2=167 =右 n=2时不等式成立,练习3、 能否被6整除？若能，请用数学归纳法给于证明,答:能,证明:(1)当 时, ,命题显然成立.,(2)假设当 时, 能被6整除,即 是6的倍数.,那么当时，,因为 是6的倍数, 也是偶数,所以 也是6的倍数,即当 时,命题也成立,由(1)、(2)知对一切正整数, 都能被6整除.,练习4、平面上有 个点，其中任何三点不共线，过这些点中任意俩点做直线，这样的直线条数记为 ，求证 ,证明:(1)当 时, ，命题显然成立.,(2)假设当 时，,那么当时，,这就是说，当时，命题也成立,由(1)和(2)可知,1. 明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2. (1)“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； (2)分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； (3)明确等式左端变形目标，掌握变形常用的方法：乘法公式、因式分解、通分、添拆项、配方等； 3. 下结论. 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,一 、用数学归纳法证明的步骤及注意事项：,课堂小结：