求线性差分方程的通项之数学实验

1、最新资料推荐钦州学院数学与计算机科学学院数 学 实 验 报 告实验完成日期2010年 11 月 8日 ， 第 11周 ， 星期一成绩等级（五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 实验题目及内容实验题目：借助计算机，求解下列线性差分方程（即求出数列的通项公式）。an 22an 12ana13, a28内容：为了能直观了解数列an 2 2an 1 2an 的特性，结合运用Matlab 软件计算出an 22an 12an 数列的通项。 问题描述 （用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）数列满足递推关系 an

2、 22an 12an ，称这样的递推关系为二阶线性差分方程。根据观察，可以猜测an 具有指数形式，可设ann ，得到n 22 n 12 n ，从而有222 ，运用 Matlab 求方程得1 、2 的解。1 和2 都是差分方程的解， 都是数列的通项， 但数列不会有两个通项。猜测 1 与2 的annn线性组合仍是差分方程的解。设c1 1c2 2，代入差分方程进行检验，猜测是否成立。若成立，求出差分方程an 的解。根据初始条件a13 ，a2 8 ,可能确定常数 c1 、c2 的值。由此得出， an 2 2an 1 2an数列的通项公式。 模型建立或思路分析 （建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表

3、格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）设 ann ，二阶线性差分方程 an 2 2an 12an 转换成n 22 n 12 n ，所以有222 ，利用 Matlab 解得差分方程的解1 ， 2 的值，求得的解也是数列的通项，1最新资料推荐但数列不会有两个通项。由于1 与2 满足线性关系，所以可设an c11nc2 2n ，代入差分方程进行检验。根据初始条件a13 、 a28 及1 、2 的值可算出常数c1 , c2由此可求得 an 2 2an 12an数列的通项。 实验结果 （通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。）an 2 2an 12

4、an设 a nnn22n12222Matlab 求解1131321 、2 满足线性组合，所以anc1nc2n将 1 13、 2 13代入12anc1 13nc2 1n3因为初始条件 a13 ， a28，从而有a 1c 1 13c 2 13322a 2c 1 13c 2 138c 113利用Matlab解23c 21323因此， an22an1 2an 数列的通项公式为：an( 13 )(13) n(13 )(13) n2323 结果分析及结论 （对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。）（ 1）解题过程中，线性方程

5、的基本知识要了解，还要大胆假设与猜测an 具有的指数形式，如果不理解题目，则想不出解题思路。结合解题步骤中的思路，以及借助计算机的Matlab2最新资料推荐软件，求出 an 22an 12an 数列的通项公式为：an ( 13 )(13) n( 13 )(13) n2323（ 2）类似的问题可以了解Fabonacci 数列的特性， 利用求通项的方法， 可以计算出 Fabonaccif n 2f n 1f n1 15n的通项为 f n1 5。数列f 2152nf12 求解方法或解题步骤 （针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，

6、给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。）（ 1）数列满足递推关系an 22an 1 2an ，称这样的递推关系为二阶线性差分方程。根据观察，可以猜测an 具有指数形式。不妨设为 ann 进行尝试。将n 代入差分方程：an 22an 12an得到n 22 n 12 n2消去因子有22运用 Matlab 软件：solve(x2-2*x-2,x)ans = 1+3(1/2) 1-3(1/2)所以，解得1 1 3 ， 2 1 3由此可知这两个都是差分方程的解。（ 2）1 和2 都是差分方程的解，都是数列的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会有两个通项。猜测1 与2 的线性组合仍是差分方程的解。设anc1 1nc2 n2 ，代入差分方程进行检验，猜测确实成立！因此，差分方程的解为：3最新资料推荐anc1 (13) nc2 (13)n（ 3）根据初始条件 a13 ， a28 ,有(13) c1(13)c23(13) 2 c1(13)2 c28可以确定常数c1 , c2 的值。运用 Matlab 软件输入：syms x yx,y=solve(1+3(1/2)*x+(1-3(1/2)*y-3,(1+3(1/2)2)*x+(1-3(1/2)2)*y-8)得出x =1/