2.6克莱姆法则

1、2.6 克莱姆法则,授课题目 2.6 克莱姆法则 授课时数 2课时 教学目标 掌握克莱姆法则，并能应用克莱 姆法则来求方程组的解,教学重点 : 1 法则的含意; 2 法则的应用 教学难点: 对法则局限性的理解与应用,现在来讨论一般线性方程组.,所谓一般线性,方程组是指形式为,一、线性方程组的概念,的方程组，其中 x1, x2 , , xn 代表 n 个未知量，s,是方程的个数，aij (i = 1, 2, , s, j = 1, 2, , n) 称,为方程组的系数，bi (i = 1, 2, , s) 称为常数项.,方程中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.,系数 aij 的第一个

2、指标 i 表示它在第 i 个方程，第二,个指标 j 表示它是 xj 系数.因为(1)含有n个未知量，所以称为n元线性方程组。,所谓方程组,c1, c2 , , cn 组成的有序数组 ( c1, c2 , , cn )，当,x1, x2 , , xn 分别用 c1, c2, , cn 代入后，(1) 中每,个等式都变成恒等式.,方程组 (1) 的解的全体称为,的一个解就是指由 n 个数,它的解集合.,解方程组实际上就是找出它全部的,解，或者说，求出它的解集合.,如果两个方程组有,相同的解集合，它们就称为同解的.,关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解?如果有解, 它有多少个解? 如

3、何求出这些解?,本节只讨论方程的个数与未知量的个数相等（即s=n）的情形,如果线性方程组,(1),的系数行列式,二、克莱姆法则,那么这个方程组有解，并且解是唯一，的可表示为,的元素用方程组（1）的常数项代换,所得的一个 n 阶行列式，即,用常数项列替换 D 的第 i 列，其余列不变。,证明思路：,1 验证,满足各方程（存在性）；,2 （1）的 解定能表成形式,（唯一性）。,所用结果：,4,左,（证b1),( ),满足第1个方程,类似验证第2，n个方程也满足。,是方程组（1）的解。,2 由1知，（1）有解，,a11x1,+a12x2,a1nxn,+,=b1,a21x1,+a22x2,a2nxn,

4、+,=b2,an1x1,+an2x2,annxn,+,=bn,用D的第i列元素的代数余子式乘两边,Ani,A2i,A1i,A1i,这证明了（1）有解。,A1i,A1i,A2i,A2i,A2i,Ani,Ani,Ani,对应相加整理,由定理4和定理5,证毕,说明：,2.克莱姆法则的三条结论,1. 克莱姆法则的三个条件,（1）待解的方程组是线性方程组；,（2）待解方程组未知数的个数与方程组的个数相等；,（3）待解的方程组的系数行列式不等于零.,1 有解,2 唯一解,3 解的公式,不足之处： 方程个数与未知数个数不等，或D=0，不能用。,如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为

5、零.,克莱姆法则的等价命题是：,思考：若D=0 呢？,第三章给出答案：可能无解，可能有无穷多个解！,例2：解线性方程组,点评：,(1) 一共要计算n+1个n阶行列式，计算量大； 不如用初等变换简单（第三章介绍）。,(2) 理论价值高于计算价值。,常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方,程组.,显然，齐次线性方程组总是有解的，因为,(0, 0, , 0) 就是一个解，它称为零解.,对于齐次,线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外,还有没有其他解，或者说，它有没有非零解.,对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方,程组，应用克拉默法则就有,二、齐次线性方程组克拉默法则,定理 7 如果齐次线性

6、方程组,的系数行列式 D 0，那么它只有零解.,换句话说，如果它有非零解，则必有D = 0.,现在只能得出有无非零解这种定性结果， 求非零解的方法在第三章介绍。,点评：,补例 若下列齐次线性方程组有非零解，k为何值？,解,思路：由定理知，方程组有非零解，则D=0。,计算D,令其为零,解k,由方程组有非零解，则,即k=1.,练习：,解,故方程组只有零解。,例3：证明下列方程组 p95 第13题,只有零解其中 不全为0,证：,系数行列式,由 不全为0，有,即 ，故方程组只有零解,1. 用克拉默法则解方程组的三个条件,(2)方程个数等于未知量个数;,(3)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了

7、线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,作业：习题2.6 P64 1(2)、2,（1）待解的方程组是线性方程组；,评论： cramer法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时便于编成程序上计算机进行计算. 但作为一种计算方法而言要解一个n个未知量、n个方程的线性方程组，要计算n+1个阶行列式，计算量较大.另一方面该公式解对n个未知量，m个方程的一般线性方程组的求解无能为力.,促使人们对线性方程组解法作更深入的研究。,Cramer 法则的应用,资料： 克莱姆是瑞士数学家，1704年7月31日生于日内瓦，1752年1月4日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒.早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授. 1750年，他在专著线性代数分析导论中首次提出了由线性方程组的系数确定方程组解的表达式，即著名的“克莱姆法则”.(其实莱布尼兹（1693年）和马克劳林（1748年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来)。他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意