和圆有关的常用辅助线

1、和圆有关的常用辅助线1.若题中有与半径（或直径或过圆心的直线）垂直的线段，或遇到弦时（解决有关弦的问题时）：常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。以便利用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，C经过原点O，且与两坐标轴分别交与A（0，8）、B，M是劣弧OB上任意一点（不含O、B），BAO=600。（1）求证：AB为圆C的直径；（2）求BMO的大小；（3）求圆C的半径及圆心C的坐标 例：如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CEAB于E，BD交CE于点F。（1）

2、求证：CF=BF；（2）若AD=2，O的半径为3，求BC 例：如图，已知O1与O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交O1、O2于A、C、D、B.求证：AC =BD 例：半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离 2.遇到有直径或利用直径但没有直径时：常常添加直径所对的圆周角或添加直径。以便利用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。例：如图，已知RtABC中，以AB为直径作一圆交斜边AC于D，DE切圆于点D，交BC于E.求证：EB=EC 例：如图,AB为O的弦,C为O上一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，1=2，求证：AB为O的直径 例：如图, 点A、B、C在O上（AC

3、不过O点），若ACB=600,AB=6，求O半径的长 例：已知O1与O2相交于A、B两点，点O1在O2上，C为O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与O1交于另一点D.如图（1），若AC是O2的直径，求证：ACCD；如图（2），若C是O1外一点，求证：O1CAD；如图（3），若C是O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立 3.遇到90度的圆周角时：常常连结两条弦没有公共点的另一端点。以便利用：利用圆周角的性质，可得到直径。例：如图，AB、AC是O的的两条弦，BAC=90，AB=6，AC=8，求O的半径 例：如图，O通过原点，并与坐标轴分别交于A,D两点，已知OBA=30，点D的坐标为(0

4、,2)，求点A ,C的坐标 4.遇到弦时：常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。以便利用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角例：如图，弦AB的长等于O的半径，点C在弧AMB上，则C的度数是_ 5.遇到有切线时：（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）以便利用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点 以便利用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理例：如图，AB为直径，PD是O切线，CO=CD，求PCA 例：如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证：1=2 例：

5、如图，点E在x轴正半轴上，以点E为圆心，OE为半径的E与x轴相交于点C，直线AB与E相切于点D，已知点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）（1）求E的半径长；（2）连接BE、CD，则BE与CD平行吗，为什么？ 6.遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。以便利用：若OA=r，则l为切线。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）以便利用：只需证OAl，则l为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线例：如图，AB为O直径，D是O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FDFE(1)请

6、探究FD与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为2，BD，求BC的长 例：已知：如图，以RtABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，求证：DE与半圆O相切 例：如图，以ABC的边AB为直径的圆O交AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.(1)请探究BC与O的位置关系，并说明理由；(2)当ABC满足什么条件时，以O、B、E、D为顶点的四边形是平行四边形？ 例：已知：ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切O于E点.求证：AD也和O相切 7.遇到两相交切线时（切线长）：常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。以便利用：据切线长及其它

7、性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形例：如图，已知梯形ABCD中，ADBC，C=90，以CD为直径的圆与AB相切，AB=6，求梯形ABCD的中位线长 例：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，BAD=90，以AD为直径的O与BC相切.(1)求证：OB丄OC; (2)若AD=12，BCD=60，O1与半O外切，并与BC、CD相切，求O1的面积 8.遇到三角形的内切圆时：连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。以便利用：利用内心的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离相等例：如图，ABC中，A=45，I是内心，求BI

8、C 例：如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离 9.遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点，以便利用：外心到三角形各顶点的距离相等例：如图O是ABC，圆心O在这个高AD上，AB=10，BC=12，求O半径 例：（1）已知I为三角形ABC的内心，连接AI交三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连接BD和CD，求证：BD=CD=ID；（2）己知三角形ABC，AD平分BAC且与它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I满足BD=ID试问点I是否是三角形ABC的内心？若是加以证明；若不是，说明理由 10.遇到两圆外离

9、时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）：常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。以便利用：利用切线的性质；利用解直角三角形的有关知识例：在直角坐标中，点O1（-4，0），半径为8的O1与x轴交于A、B，过A作直线l与x轴负方向成60角，且交y轴于点C，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴切于点D（1）求直线l的解析式；（2）将O2以每秒1个单位长的速度沿x轴向左平移，当O2第一次与O1外切时，求平移的时间 例：如图，已知O1和O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是O1和O2的切线，切点分别为A、B，求线段AB的长 11.遇到两圆相交时：常常作公共弦、两

10、圆连心线、连结交点和圆心等。以便利用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；利用圆内接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理例：如图，O1与O2相交于A、B，过A的直线分别交O1、O2于C、D，过B的直线分别交O1、O2于E、F.求证：CEDF 例：如图，O1和O2相交于A、B两点，AD是O1的直径，且圆心O1在O2上，连结DB并延长交O2于点C，求证：CO1AD。 例：如图，O1和O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，公共弦AB的长为12，求O1AO2的度数。 例：如图， O1 、O2交于点A、B，过点A的直线分别交两圆与点C、D，点M是CD上一点，直线BM分别交两圆与点E、

11、F 求证：CEDF 12.遇到两圆相切时：常常作连心线、公切线。以便利用：利用连心线性质；切线性质等例：如图，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2外公切线，B、C为切点，求证：ABAC 例：如图，A和B外切于点P，CD为A、B的外公切线，C、D为切点，若A与B的半径分别为r和3r,求CD的长；B的度数 13.遇到三个圆两两外切时：常常作每两个圆的连心线。以便利用：可利用连心线性质例：如图，O1，O2，O3三圆两两相切，AB 为O1，O2的公切线， 弧AB为半圆，且分别与三圆各切于一点若O1，O2的半径均为1，求O3的半径 例：如图,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在

12、一起,求最高点到地面距离 例：已知图中各圆两两相切， O的半径为2R, O1 、O2 半径为R，求O3的半径 14.当从一个点引出的三条线段或更多条线段相等时，或遇到四边形对角互补，或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。以便利用：以便利用圆的性质例：若上图中有公共斜边的两个直角三角形中分别含45和30 角，连结BD交AC于G，（1）你能求出哪些角的度数（2）若AC=8，你都能求出哪些线段的长度（3）求SBDC 例：如图，已知OA=OB=OC，ABC=900，求（DAO+DCO）的度数 例：已知从点O处引出点A、点C、点B，且OA=OB=OC,AOB=780,求ACB 15.过小圆圆心作大圆半径的垂线构造直角三角形例：如图，O1与O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切O1、O2于点C、D、B、A，