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1、1如图,四边形ABCD的顶点在O上,BD是O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AHCE,垂足为点H,已知ADEACB(1)求证:AH是O的切线;(2)若OB4,AC6,求sinACB的值;(3)若,求证:CDDH2已知,AB是O的直径,点C在O上,点P是AB延长线上一点,连接CP(1)如图1,若PCBA求证:直线PC是O的切线;若CPCA,OA2,求CP的长;(2)如图2,若点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,MNMC9,求BM的值3如图,O是ABC的外接圆,点O在BC边上,BAC的平分线交O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P(1)求
2、证:PD是O的切线;(2)求证:ABCPBDCD;(3)当AB5cm,AC12cm时,求线段PC的长4如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,BAF的平分线交O于点E,交O的切线BC于点C,过点E作EDAF,交AF的延长线于点D(1)求证:DE是O的切线;(2)若DE3,CE2,求的值;若点G为AE上一点,求OG+EG最小值 2019年04月30日159*0616的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题(共4小题)1如图,四边形ABCD的顶点在O上,BD是O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AHCE,垂足为点H,已知ADEACB(1)求证:AH是O的切线;(2)若O
3、B4,AC6,求sinACB的值;(3)若,求证:CDDH【分析】(1)连接OA,证明DABDAE,得到ABAE,得到OA是BDE的中位线,根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明;(2)利用正弦的定义计算;(3)证明CDFAOF,根据相似三角形的性质得到CDCE,根据等腰三角形的性质证明【解答】(1)证明:连接OA,由圆周角定理得,ACBADB,ADEACB,ADEADB,BD是直径,DABDAE90,在DAB和DAE中,DABDAE,ABAE,又OBOD,OADE,又AHDE,OAAH,AH是O的切线;(2)解:由(1)知,EDBE,DBEACD,EACD,AEACAB6在RtABD中,A
4、B6,BD8,ADEACB,sinADB,即sinACB;(3)证明:由(2)知,OA是BDE的中位线,OADE,OADECDFAOF,CDOADE,即CDCE,ACAE,AHCE,CHHECE,CDCH,CDDH【点评】本题考查的是圆的知识的综合应用,掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键2已知,AB是O的直径,点C在O上,点P是AB延长线上一点,连接CP(1)如图1,若PCBA求证:直线PC是O的切线;若CPCA,OA2,求CP的长;(2)如图2,若点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,MNMC9,求BM的值【分析】(1)欲证明PC是O的切线,只要证明
5、OCPC即可;想办法证明P30即可解决问题;(2)如图2中,连接MA由AMCNMA,可得,由此即可解决问题;【解答】(1)证明:如图1中,OAOC,AACO,PCBA,ACOPCB,AB是O的直径,ACO+OCB90,PCB+OCB90,即OCCP,OC是O的半径,PC是O的切线CPCA,PA,COB2A2P,OCP90,P30,OCOA2,OP2OC4,(2)解:如图2中,连接MA点M是弧AB的中点,ACMBAM,AMCAMN,AMCNMA,AM2MCMN,MCMN9,AM3,BMAM3【点评】本题属于圆综合题,考查了切线的判定,解直角三角形,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识,解题的
6、关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题3如图,O是ABC的外接圆,点O在BC边上,BAC的平分线交O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P(1)求证:PD是O的切线;(2)求证:ABCPBDCD;(3)当AB5cm,AC12cm时,求线段PC的长【分析】(1)想办法证明ODPD即可(2)证明BADCDP,即可解决问题(3)利用勾股定理求出BC,BD,CD,再利用(2)中结论即可解决问题【解答】(1)证明:连接ODBADCAD,BODCOD90,BCPA,ODPBOD90,ODPA,PD是O的切线(2)证明:BCPD,PDCBCDBCDBA
7、D,BADPDC,ABD+ACD180,ACD+PCD180,ABDPCD,BADCDP,ABCPBDCD(3)解:BC是直径,BACBDC90,AB5,AC12,BC13,BDCD,ABCPBDCDPC【点评】本题属于圆综合题,考查了切线的判定,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型4如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,BAF的平分线交O于点E,交O的切线BC于点C,过点E作EDAF,交AF的延长线于点D(1)求证:DE是O的切线;(2)若DE3,CE2,求的值;若点G为AE上一点,求OG+EG最小值【分析】(1)根据切线的判
8、定,连接过切点E的半径OE,利用等腰三角形和平行线性质即能证得OEDE(2)观察DE所在的ADE与CE所在的BCE的关系,由等角的余角相等易证ADEBEC,即得的值先利用的值和相似求出圆的直径,发现BAC30;利用30所对直角边等于斜边一半,给EG构造以EG为斜边且有30的直角三角形,把EG转化到EP,再从P出发构造PQOG,最终得到三点成一直线时线段和最短的模型【解答】(1)证明:连接OEOAOEOAEOEAAE平分BAFOAEEAFOEAEAFOEADEDAFD90OED180D90OEDEDE是O的切线(2)解:连接BEAB是O直径AEB90BEDD90,BAE+ABE90BC是O的切线
9、ABCABE+CBE90BAECBEDAEBAEDAECBEADEBECDE3,CE2过点E作EHAB于H,过点G作GPAB交EH于P,过点P作PQOG交AB于QEPPG,四边形OGPQ是平行四边形EPG90,PQOG设BC2x,AE3xACAE+CE3x+2BECABC90,CCBECABCBC2ACCE 即(2x)22(3x+2)解得:x12,x2(舍去)BC4,AE6,AC8sinBAC,BAC30EGPBAC30PEEGOG+EGPQ+PE当E、P、Q在同一直线上(即H、Q重合)时,PQ+PEEH最短EHAE3OG+EG的最小值为3【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质,切线的判定和性质,相似的判定
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