2017年炎德英才大联考长郡中学高考模拟卷（一）数学（理）试题（解析版）

1、2017届炎德英才大联考长郡中学高考模拟卷（一）数学（理）试题一、选择题1设全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】所以2若复数且满足，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， 3函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】易知函数定义域为，且，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧时， ，故选C4某个路口交通指示灯，红灯时间为妙，黄灯时间为秒，绿灯时间为秒，绿灯和黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过秒就可以通行的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】这是一个几何概型，试验人随机到达路口对应的几何区域看作

2、一条长80的线段，到达路口时因为绿灯和黄灯时间可以通行，所以等待不超过10秒可看作为一条长为50的线段，所以通行概率为5若等差数列的公差为，且是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时， 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以为变量， 得， ，则，所以最小，故,故选B.6设满足约束条件，若仅在点处取得最大值，则的值可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】作出可行域：，则目标函数仅在点取得最大值， ，得，所以7如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某一无上该几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可得该

3、几何题如图所示，所以该几何体体积为： 8已知函数的最小正周期为，若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图像关于原点对称，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，将其图像沿轴向右平移个单位得，又图像关于原点对称，所以为奇函数，所以，由a0,所以的最小值为9运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有个落在直线上，则判断框中可填写的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得：当i=1,y=0,x=1,y=1,i=2输出点（1.1）在y=x上，x=0,y=1,i=3输出点（0,1），不在线上，x=-1,y=0,i=4,输出（-1,0）不在线上，x=0,y

4、=0,i=5输出（0,0）在线上，x=1,y=1,i=6输出（1,1），在线上，x=0,y=1,i=7输出（0,1）不在线上，x=-1,y=0,i=8,输出（-1,0）不在线上，x=0,y=0.i=9输出（0,0）在线上，由此满足题意的条件为10已知是双曲线上的三个点， 经过原点, 经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】做出如图因为 经过原点, 经过右焦点, 可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得点睛：根据题意画出草图，分析出为矩形时解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率

5、即可11鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为点睛：本题主要考察空间几何体，而柱体的外接球球心即为体对角线的中点位置二、填空题12的展开式中常数项为_(有数字填写答案)【答案】

6、16【解析】展开式的次项与形成常数项，展开式的常数项和1形成常数项，所以展开式的次项为，常数项为1，所以的展开式中常数项为15+1=1613已知中， ,且,若是边上的动点，则的取值范围是_【答案】【解析】可建立坐标系，以AB为x轴，以AC为y轴，由,且得A(0,0),B(,0),C(0,2),E(,1)设P(x,y)则= ，又直线BC的方程为： 代入问题得= =，又，所以的取值范围是点睛：对于向量问题，最好办法就是建立直角坐标系写出各点的坐标，然后根据向量的运算写出问题表达式，在根据函数性质求解值域即可14已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则的最大值为_【

7、答案】【解析】由于，故当取得最小值时角最大，,.点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.首先确定两个圆的圆心和半径，第一个圆的圆心和半径是给定的已知条件，第二个圆的圆心是用三角函数来表示的，但是半径是给定的.根据一点引圆的两条切线的性质，将所求角分成两个相同的角，利用其正弦值的最大值来确定角的最大值.15若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程是_【答案】【解析】设与曲线和曲线的切点分别为,又，故（1），且切线方程为（2）联立（1）（2）可得，代入（1）故切线方程为三、解答题16已知在中， 为中点， ，（）求的值；（）求的值.【答案】() ;（）【解析】试题分析：（1）

8、先根据题意可得，再由= 两边同时取余弦即可求解（1）根据三角形正弦定理可得， ，两式相比即可得，再根据化简求解即可试题解析：() 在中， 为锐角，（）在中,在中,又,17如图，在四棱锥中，底边是正方形，侧棱底面,点是的中点，作于点（）求证： 平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析;（）.【解析】试题分析：（1）证线面垂直需在平面内找两条相交直线与之垂直即可， ， 可得平面（2）线面角建立空间直角坐标系，自出线和法向量坐标则求出即得结论试题解析：（）侧棱底面又,点是的中点， 底边是正方形， ,又，且平面,又且,平面.又于点,且平面（）分别以为轴， 轴， 轴建系如图：设点的坐标为

9、，则，因为因为点的坐标为设是平面的法向量，则,可取则故直线与平面所成角的正弦值为点睛：证明立体几何问题，首先要明确判定定理，然后根据题意找出对应条件即可，而对于线面角，线线角，二面角等问题则建系用向量方法求解比较容易18交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

10、类型数量105520155以这辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定， ，记为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故车盈利元：若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有一辆事故车的概率；若该销售商一次购进辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.【答案】（）见解析;（）,见解析.【解

11、析】试题分析：（1）先分析随机变量的取值可能，然后根据题意求出对应概率列出分布列求期望（2）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为然后根据二项分布求解（3）为该销售购进并销售一辆二手车的利润， 的可能取值为列出分布列求出期望试题解析：（）由题意可知的可能取值为由统计数据可知：所以的分布列为： 所以（）由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为三辆车中至少有一辆事故车的概率为为该销售购进并销售一辆二手车的利润， 的可能取值为所以的分布列为： -300010000 所以所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.19(本题

12、满分15分)已知椭圆：过点，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为，求当取最大值时直线的方程，并求出最大值【答案】（）椭圆的标准方程为；（）.【解析】试题分析：（）由题意得 ，解这个方程组即可得，从而得椭圆的标准方程为.（）设，的内切圆半径为，则，所以要使取最大值，只需最大. . 设直线的方程为 ，将代入可得，利用根与系数的关系可得，记，则，显然这个函数在上递减，当即时三角形的面积最大，由此可得.试题解析：（）由题意得 解得椭圆的标准方程为.（）设，的内切圆半径为，则 所以要使取最大值，只需最大 设直线的方程为 将代入可得(

13、)恒成立，方程()恒有解， 记 在上递减，所以当即时，此时.【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、函数的最值.20设函数,其中()求的单调区间；（）若存在极值点，且，其中，求证: ；（）设，函数，求证： 在区间上最大值不小于.【答案】（）见解析;（）见解析;（）见解析.【解析】试题分析：（1）求单调区间，先求导解导数大于零求递增区间，导数小于零求递减区间，但要注意a的取值对导数符号得影响（2）函数存在极值点，即将代入导函数等于零，又所以从而得证（3）求最值先分析函数单调性即可，然后讨论在区间得极值和端点值大小来确定最大值，再验证其不小于即可试题解析：（）由，可得，下面分

14、两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以单调递增区间为（2）当时，令，解得，或，当变化时， 的变化情况如下表： +0-0+ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即进而又,且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为, 表示两数的最大值，下面分三种情况讨论：（1）当时， ，由（）知， 在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此所以（2）当时， ，由（）和（）知， ，所以在区间上的取值范围为，因此（3）当时 时， ，由（）和（）知， ， ，所以在区间上的取值范围为，因此，综上所述，当时， 在区间上的最大值不小于.21选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程是，圆的参数方程是（为参数）以为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线和圆的极坐标方程；（）射线： （其中）与圆交于、两点，与直线交于点，射线： 与圆交于、两点，与直线交于点，求的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（）直线的极坐标方程分别是.圆的普通方程分别是，所以圆的极坐标方程分别是.（）依题意得，点的极坐标分别为和所以，从而.同理， .所以，故当时，的值最大，该最大值是.【考点】极坐标.22选修4-5