20_6354411_46.球的问题的解题策略

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 球的问题的解题策略 球的性质及应用 球的问题是高考中的独特问题 ,也是热点问题 ,解决球的问题的基本策略是与圆类比 ,得到相关结论 ,解决问题 ,或作球的截面 ,把球的问题转化为圆的问题 ;类比圆可得球的性质如下 . 母题结构 : 项目 圆 球 模型 以圆上两点为端点的线段叫做圆的弦 ;过圆心 的弦 叫 圆的 直径 ; 直径所对的圆周角为直角 ; 如果 圆 O 的半径为 R,一弦长为 2m,圆 心到 弦的距离为 d,则 d2+2; 弦长为定值的动弦中点的轨迹是一个圆 ,且弦都是该圆的切线 ; 以球上两点为端点的线段叫做球的弦 ;过球 心 的弦 叫 球的 直径 ; 直径所对的 球 周角为直角 ; 如果球 O 的半径为 R,一弦长为 2m,球心到弦的距离为 d,则 d2+2; 弦长为定值的动弦中点的轨迹是一个球 ,且弦都是该球的切线 ; 解 题 程序 :球的弦是球的基本量之一 ,对球的弦的认识 ,应从静与动两个方面 ,掌握球的弦的性质是必 要 的 . 子题类型 :(2011 年 辽宁 高考 理科 试题 )已知球的直径 ,A,B 是该球球面上的两点 , 3 , 00,则棱锥 体积为 ( ) (A)3 3 (B)2 3 (C) 3 (D)1 解析 :如图 ,由 球的直径 , 00 C=2 3 ; 作 ,则 H= 3 正三角形 33 1433 4= 3 C). 点评 :若 球的直径 ,则对球面上的任意一点 00. 子题类型 :(2008 年江西高考试题 )连接球面上两点的线段称为球的弦 的球的两 条弦 长度分别等于 2 7 、 4 3 ,M、 N 分别为 中点 ,每条弦的两端都在球面上 运动 ,有下列四个命题 :弦 能相交于点 M;弦 能相交于点 N; 最大值 为 5; 最小值为 命题的个数为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析 :设 球的球 心为 O,则 , 最大值为 5,最小值为 1 正确 ;若 弦 ,由 ,斜边 ,直角边 ,矛盾 错误 , 正确 C). 点评 :如果球 B、 ,M、 B、 中点 ,则此两弦是球 1的弦 ,四边形 且当此圆 r,球心到该圆面的距离 则 r2+2. 子题类型 :(2010 年全国 高考试题 )已知在半径为 2的球面上有 A、 B、 C、 D 四点 ,若 D=2, 则四面体 体积的最大值 ( ) (A)332(B)334(C)2 3 (D)338解析 :设 球的球 心为 O,M、 B、 中点 ,则 N= 3 2 3 ,即 D 距离 d 的 最大值 为 2 3 ,设 夹角为 ,则 V61d=334B). 点评 :在四面体 若 D 的夹角为 ,距离为 d,则四面体 =61 d. 1.(2011 年 辽宁 高考 文科 试题 )已知球的直径 ,A.,B 是该球球面上的两点 , 50,则棱锥 体积为 ( ) (A)33(B)332(C)334(D)3352.(1992年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 ) B、 、 3、 4,的球面上一点 ,若 、 B、 等 ,则三棱锥 D . 3.(2011 年第 二 十 二 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )如图 ,已知 半径为 4 的球 O 的直径 , 点 A 和 C 在球面上 ,且 点 B,点 D, 平面 成的 角为 600,则线段 长为 . 4.(2008 年 江西 高考试题 )(文 )连结球面上两点的线段称为球的弦 的球的两条弦 长度分别等于 2 7 、 4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动 ,则两弦中点之间距离的最 大 值为 . 5.(2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题 )连接球面上两点的线段称为球的弦 的球的两条弦 长度分别等于 6、 8,M、 N 分别为弦 中点 ,则 |取值范围是 . 6.(2008 年全 国高中数学联赛湖南 初赛试题 )连结球面上两点的线段称为球的弦 的球的两条弦 长度分别等于 2 7 和 4 3 ,M、 N 分别为 中点 ,每两条弦的两端都在球面上运动 ,有下面四个命题 :弦 能相交于点 M;弦 能相交于点 N; 最大值为 5; 最小值为 ) (A) (B) (C) (D) 7.(2011 年全 国高中数学联赛河南 初赛试题 )已知在半径为 5 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点 ,若 ,则 四面体 . 8.(2008年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )在 1200的二面角 , 、 内 ,且与棱 ) (A)仅有 1个 (B)仅有 2个 (C)有无数个 (D)不存在 9.(2010 年全国 高考试题 )已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 圆 的公共弦 ,N=3,则两圆圆心的距离 . 10.(1997 年全 国高中数学联赛 试题 )已知三棱锥 S 直角 三角形 ,B=,设 S、A、 B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上 ,则点 O 到平面 距离为 . 11.(2011 年 重庆 高考试题 )高为42的四棱锥 底面是边长为 1 的正方形 ,点 S、 A、 B、 C、 D 均在半径为 1 的同一球面上 ,则底面 中心与顶点 S 之间的距离为 ( ) (A)42(B)22(C)1 (D) 2 如图所示 ,连接 B(,由 直径 B=2, 3 ; 又 50,且 O 面 111O+31C). 由 D 到 A、 B、 C 的距离 相等 点 D 在平面 的射影点 H 是 外心 ;由 611 6153 4153;由 2r=r=158 DH=r=158 三棱锥 D31 . 在 , 00 ,3 ;同理可得 :,3 3 ;过 作 球 O 于 E,则 A=1,D=2 3 , 00 0222 60c o = 13 . 设 球的球 心为 O,M、 N 分别为 中点 ,则 , 最大值为 5. 设 球的球 心为 O,则 , |取值范围是 1,7. 设 球的球 心为 O,则 , 最大值为 5,最小值为 1 正确 ;若 弦 交于点 N,由 ,斜边 ,直角边 ,矛盾 错误 , 正确 A). 因球心到 弦 距离分别为 4,3 离 的 最大值为 h=7,设 夹角为 ,由 V=61h=5656. 过点 、 的垂线 ,设两垂线的交点为 是 唯一的 以 其球心为 O,半径为 取 点 C,由 3 ;又由 N=3 3 00 等边三角形 N=3. 由 B= S 在面 的射影为 点 H 面 任意一点到 A、 B、 C 的距离相等 ;由 3,在面 作 垂直平分线 于 O,则 外