经济数学基础教案

罗 定 市 中 等 职 业 技 术 学 校备课本2012 至 2013 学年度第 二 学期课程名称： 经济数学基础 .适用班级： 11 春大专会计 .授课教师： 黄燕琼 .- 2 -课 程 表星期一 星期二 星期三 星期四 星期五早 读第一节第二节第三节第四节第五节11 春大专会计 11 春大专会计第六节11 春大专会计 11 春大专会计第七节晚修一晚修二- 3 -授 课 教 学 计 划教材分析：经济数学基础（专科）课程是广播电视大学会计学和工商管理专业学生的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的大专应用型经济管理人才服务的。 通过本课 程的学习，使学生 获得微积分和线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力和用定性与定量相结合的方法处理经济问题的初步能力，并为学习财经科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。教学目的、要求：通过本课程的学习，使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，培养 辩证唯物主义观点；初步掌握微积分的基本知识、基本理 论和基本技能，并受到运用 变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。 通过本课程的学习，使学生初步熟悉线性代数的研究方法，培养学生的抽象思维 、逻辑推理以及运算能力。重点章节：极限、导数与微分；导数应用；不定积分；定积分；积分应用；行列式；矩阵；线性方程组- 4 -难点章节：导数应用；不定积分；积分应用；行列式；矩阵；线性方程组实习、实验教学项目：学期授课进度计划表周次 课 次 授 课 内 容 课 时 备 注1 第 1 章 函数概念 22 第 1 章 函数的基本属性 22 第 1 章 基本初等函数 23 第 1 章 初等函数 23 第 1 章 常用的经济函数 24 第 2 章 极 限 的 概 念 24 第 2 章 极限的运算（一） 2- 5 -5 第 2 章 极限的运算（二） 25 第 2 章 函数的连续性 26 第 3 章 导 数 的 概 念 （ 一 ） 26 第 3 章 导 数 的 概 念 （ 二 ） 27 第 3 章 求 导 法 则 （ 一 ） 27 第 3 章 求 导 法 则 （ 二 ） 28 第 3 章 求 导 法 则 （ 三 ） 28 第 3 章 求 导 法 则 （ 四 ） 29 第 3 章 微分及其在近似计算中的应用（一） 29 第 3 章 微分及其在近似计算中的应用（二） 210 第 3 章 导数与微分 （复习） 210 第 4 章 微 分 中 值 定 理 与 洛 必 达 法 则 211 第 4 章 拉 格 朗 日 中 值 定 理 及 函 数 的 单 调 性 211 第 4 章 函数的极值与最值（一） 212 第 4 章 函数的极值与最值（二） 212 第 4 章 函数图形的描绘（一） 213 第 4 章 函数图形的描绘（二） 213 第 5 章 不定积分的概念及性质 214 第 5 章 不定积分的积分方法（一） 214 第 5 章 不定积分的积分方法（二） 215 第 5 章 不定积分的积分方法（三） 215 第 6 章 定积分的概念与性质 216 第 6 章 微积分基本公式（一） 216 第 6 章 微积分基本公式（二） 2- 6 -17 第 6 章 定积分积分方法（一） 217 第 6 章 定积分积分方法（二） 218 第 6 章 定积分的几何应用（一） 218 第 6 章 定积分的几何应用（二） 219 复习考试 219 复习考试 220 复习考试 220 复习考试 2记 事- 7 -备 课 教 案第 一 周 星期五 课 题 函数 所需课时 2教学目的 理解函数的概念，掌握函数的几何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初 等函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。重 点 函数的概念，函数的几何特性，各种基本初等函数的性态。难 点 反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。- 10 -教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。三 、 讲 授 新 课一、函数的概念：1、 函数的定义：1） Def：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的非空数集。若对于每一个数 xD， 按照某一确定的对应法则 f，变量 y 总有唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 yf(x), xD。Note：（1）x 称为自变量, y 称为因变量或函数；（2）D 称为定义域, 记作 D f, 即 D fD；（3）f 称为函数的对应法则；（4）集合 y| yf(x), xD称为值域。当自变量 x 在定义域内取定某确定值 x0 时，因变量 y 按照所给函数关系求出的对应值y0 叫做当 x= x0 时的函数值，记作 或 f (x0)y例 1：已知 ，求1()f211,22fffxf解： 120,3ff1221xff xfxf例 2：求下列函数的定义域（1） 235fxx（2） 9- 11 -（3） lg43fx（4） arcsin21x（5） larcsifxx解：（1）在分式 中，分母不能为零，所以 ，解得 ，且23250x25x0即定义域为 。,0,5（2）在偶次方根中，被开方式必须大于等于零，所以 ，解得 即定290x3x义域为 3,（3）在对数式中，真数必须大于零，所以 ，解得 ，即定义域为43x4x,4（4）反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于 1，所以有 ，解得21x，即定义域为0，101x（5）该函数为（3） （4）两例中函数的代数和，此时函数的定义域为（3） （4）两例中定义域的交集，即 3,0,1,4小结：定义域的求解原则：（1） x含 时 ，（2） 0含 时 ，（3） lnx含 时 ，（4） arcsi,os1x含 时 ，（5）同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。2）邻域：设 为两个实数， ，则称满足不等式 即以 为中心的开区间,0xa- 12 -为点 的 邻域。,aa点 为该邻域的中心， 为该邻域的半径。四、练习：求下列函数的定义域：（1） 235fxx（2） 9（3） lg43fx（4） arcsin21x（5） larcsifxx五、归纳小结本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以后的继续学习打下良好的基础。课后作业：1、求函数 的定义域；2、作函数 的图像)1ln(xy0,2)(xf反 思 录：备 课 教 案第 二 周 星期三 课 题 函数 所需课时 2教学目的 （1）理解复合函数、分段函数的概念。（2）掌握函数的特性。重 点 函数特性的理解。难 点 函数特性的理解。- 13 -教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入1、什么叫做函数？2、求下列函数的定义域及值域。（1） 29fx（2） lg43三 、 讲 授 新 课分段函数对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。例 3：函数 . 10 2xy这是一个分段函数, 其定义域为 D0, 1(0, ) 0, ). 当 0x1 时 , ; 当 x1 时, y1x. y2; ; f(3)134. )2(f 2)1(fNote：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。3、显函数和隐函数若函数中的因变量 y 用自变量 x 的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。一般地，若两个变量 x,y 的函数关系用方程 F(x,y)=0 的形式表示，即 x,y 的函数关系隐藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。例如： 0xye有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。二、函数的几种特性：1、函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界, 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方 . 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的- 14 -M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 y M 和 y M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f (x) | M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的 : |sin x|1. (2)函数 在开区间(0, 1) 内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 1这是因为, 对于任一 M1, 总有 x1: , 使10, xf1)(所以函数无上界. 函数 在(1, 2)内是有界的 . f)(2、函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 y x2 在区间( , 0上是单调增加的, 在区间0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单调的. 3、函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有 f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有 f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数 . 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数 . yx3, ysin x 都是奇函数, ysin xcos x 是非奇非偶函数. 例 4： 判断函数 的奇偶性.)1(log)(2fa解 函数的定义域为 D= ,又因为)l()(l)( 22xxxfa 12)(logxa- 15 -)1(log2xa )(1(log2xfxa所以函数 是奇函数.)xf4、函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有( xl)D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 例如, 的周期 , 的周期 ,正弦型曲线函xycos,sin2Txycot,tanT数 的周期为 .)(xAy四、练习已知函数 ，求 f(0.04)和 f(9)。10 2xy五、归纳小结本节主要总结了函数的几种特性，适当时候可以结合图像来分析理解。课后作业：求函数 ?)1(,0)(01)(2 ffxf的 定 义 域 及 函 数 值， ，反 思 录：备 课 教 案第 三 周 星期五 课 题 基本初等函数 所需课时 2教学目的 （1）理解反函数，会求一个函数的反函数。（2）掌握五类基本初等函数。- 16 -重 点 掌握五类基本初等函数。难 点 理解反函数，会求一个函数的反函数。教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入1、计算： ； ； ； ； ； ；3202416327192、怎样画函数的图像？三 、 讲 授 新 课一、初等函数1、反函数定义 1.1 设函数 .若对于任意一个 ,D 中都有惟一的一个ZyDxfy,)( Zy,使得 成立,这时 是以 Z 为定义域的 的函数,称它为 的反函数,记作xf)( )(xf.Zy1在函数 中, 是自变量, 表示函数.但按照习惯,我们需对调函数)(1fxyx中的字母 , ,把它改写成 .)(1yfyZf)(1今后凡不特别说明,函数 的反函数都是这种改写过的 形式.)(xf Zxfy),(1函数 与 互为反函数,它们的定义域与值域互换.Dxfy),(y1在同一直角坐标系下, 与 互为反函数的图形关于直线xf),(Zxfy),(1对称。xy例如,函数 与函数 互为反函数,其图形如图 1.1 所示,关于直线23xy32y对称.函数 与函数 互为反函数,它们的图形在同一坐标系中是关于直线xx2log对称的.如图 1.2 所示.y- 18 -y23xyyx2y1 x2log-2 0 1 0 1 x-2图 1.1 图 1.2定理.（反函数存在定理） 单调函数必有反函数,且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的.求反函数可以按以下步骤进行:(1) 从方程 中解出惟一的 ,并写成 ;)(xfyx)(yg(2) 将 中的字母 对调,得到函数 ,这就是所求的函数 的反gyx)(xfy函数.2 . 复合函数定义 1.2 假设有两个函数 ,与 对应的 值能使 有定义,将)(,xufyuy代入 ,得到函数 .这个新函数 就叫做是由)(xu)(ufy)()(xfy和 经过复合而成的复合函数,称 为中间变量 .fy例如,由 可以复合成复合函数 .xuefycos)(,)(xefycos)(复合函数不仅可用两个函数复合而成,也可以有多个函数相继进行复合而成.如由可以复合成复合函数 .xvuysin,l xysinl需要指出,不是任何两个函数都能复合成复合函数.由定义易知,只有当 的值域)(xu与 的定义域的交集非空时,这两个函数才能复合成复合函数.例如函数 和)(ufy yln就不能复合成一个复合函数.因为 的值域为 ,而 的定义域2x 2xu0(为 ，显然 无意义 .),0()ln(,),0(,y- 19 -3 . 基本初等函数我们学过的五类函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.为了便于应用,下面就其图像和性质作简要的复习.参看表 1-1 .表 1-1 基本初等函数及图像性质序号 函数 图像 性质1幂函数 Rxy,y0(1,1)0 x在第一象限， 时函数单增；0时函数单减都过点（1，1）2指数函数 )10(ayx且y1a10 x时函数单增； 时函数1a10a单减共性：过（0，1）点，以 轴为x渐近线3对数函数 )10(logaxy且y1a0 1 x时函数单增； 时函数1a10a单减共性：过（1，0）点，以 轴为y渐近线正弦函数 xysiny1- 0 x-1奇函数,周期 T=2 ,有界1sin4三角函数余弦函数 xycosy1- 0 2x-1 偶函数,周期 T=2 ,有界1cos- 20 -正切函数 xytany- 0 223x奇函数,周期 T= ,无界余切函数 xycotyx- - 0 22奇函数,周期 T= ,无界反正弦函数 xyarcsiny2-1 0 1 x- 2奇函数，单2,1y调增加，有界反余弦函数 xyarcosy2-1 0 1 x,单调减少，有0,1y界5 反三角函数反正切函数 xyarctny20 x2y奇函数，)2,(),(y单调增加，有界， 为两条水平渐近线- 21 -反余切函数 xarcyoty20 x单调减少，),0(,(yx有界， 为两条水平渐近线四、练习1、基本初等函数有哪几类？2、是不是所有函数都有反函数？五、归纳小结这一节课我们复习了五类基本初等函数，它们的性质可以结合图像来理解和记忆。课后作业：指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？(1) )ln(si2xy(2) e(3) xy2arct1反 思 录：- 22 -备 课 教 案第 三 周 星期三 课 题 初等函数 所需课时 2教学目的 理解初等函数的定义，并能把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数；也能把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。重 点 把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。难 点 把两个以上的基本初等函数合并成一个初等函数和把一个初等函数拆分成几个基本初等函数。教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入填空：1、纠正作业。 2、画出五种基本初等函数的草图。三 、 讲 授 新 课定义 1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，并能用一个式子表示的函数，统称为初等函数.【例 14】 下列函数是由哪几个简单函数复合而成的.（1） （2） （3）xysinl1cosxyxey2sin解 （1）令 ，则 .uul于是 是由 ， 复合而成的.xysinlyxsin（2） 令 ， ，则 .1vvuuco所以 是由 ， ， 复合而成的.cosxyysv1x（3） 令 ， ，则 .v2vuinue所以 是由 ， ， 复合而成的.xeysinyvsix2本课程研究的函数，主要是初等函数.凡不是初等函数的函数，皆称为非初等函数.- 23 -【例 15】将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。（1） .xusinuyln（2） ycosv1x（3） ， ，uein2四、练习将下列几个基本初等函数复合成一个初等函数。（1） .xvsinvyln（2） uucos（3） ， vsinx2ey五、归纳小结初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌漏层。课后作业：2、判定下列函数的奇偶性？(1) (2) xey (3) 为 自 然 数 ）nxy(12)(xfy3、作下列函数的图像？(1) (2) (3) 12xyxsi- 24 -反 思 录：备 课 教 案第 三 周 星期五 课 题 常用的经济函数 所需课时 2教学目的 1、理解几个常用的经济函数 2、会用函数的知识解决经济问题重 点 理解经济函数的含义及应用难 点 运用经济函数解决经济问题教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入函数 是由 ， 这两个函数复合而成的。xysinl三 、 讲 授 新 课经济函数主要包括：1、需求函数 q(p) (p 为价格 )2、成本函数 C(q)3、收入函数 R(q)4、利润函数 L(q)1 需求函数与价格函数1.1 线性需求函数1.2 二次曲线需求函数1.3 指数需求函数注：一般地，需求量随价格上涨而减少。因此，通常需求函数是价格的单调减少函数。- 25 -价格函数反映商品需求和价格的关系。2 供给函数一般地，商品供给量随商品价格的上涨而增加。因此，商品供给函数是商品价格的单调增加函数。3 总成本函数（单调增加函数）注：生产成本包括固定成本和可变成本。4 收入函数利润函数总收入 和平均收入 ，其中 是商品的价格函数，)(qPR)(qPR)(它们均是出售商品数量的函数。总利润 和平均利润 ，均是产量 的函数)()(qCqLqL)(q注：利润函数 出现的三种情况：（1） 有盈余生产()()0qRq（2） 亏损生产0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。当 x+时， ，所以 是无穷小量.01linn1都 是 无 穷 小 量 。，时 ，同 样 ， 当 x2定理 4 极限与无穷小之间的关系： ， 逆 命 题 也 成 立 。为 无 穷 小 量其 中 。则若 0)(lim:)()(,lim00 xxAffx无穷小量的性质定理 5 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。例如，当 x0 时，x+sinx 也是无穷小量定理 6 无穷小量与有界量之积是无穷小量。例如，当 x0 时，xsinx 也是无穷小量。推论 1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。例如，当 x0 时，3sinx 也是无穷小量。推论 2：有限个无穷小量之积是无穷小量。 （注：两个无穷小之商未必是无穷小）2、无穷大量当 x （或）时，如果函数 f(x)的绝对值无限增大，则称当 x （或）时，0x 0xf(x)是无穷大量。记作 f(x