梁的有限元分析原理

福州大学研究生课程有限元程序设计 1 有限元程序设计 谷 音 福州大学土木工程学院 2012 梁单元，静力问题 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 2 1. 介绍 . 框架结构，例如桁架、桥梁 受弯构件 flexural elements 梁 轴力构件 axial elements 杆 平面梁单元 plane beam element 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 3 2. 经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam 平面梁假设 Plane-beam-assumption 中面法线在变形后仍保持和中面垂直的直法线假设 小变形理论 One-variable beam theory 几何关系 物理关系（应力应变关系） 梁在纯弯曲时的 平面假设 ： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平 面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截 面绕某一轴旋转了一个角度。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 4 平衡方程 边界条件 or or where k 曲率 M, Q 弯矩，剪力 I 惯性矩 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 5 最小势能原理 典型 C 1 连续问题 通常梁分析中常用 2节点 Hermite单元 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 6 其中 引入变形到最小 P , 得到 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 7 Pj 集中荷载 ; Mj 弯矩力偶。 e.g. 对于均匀分布荷载 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 8 3. 铁木辛柯梁理论 对剪切变形的影响 3.1 理论 只考虑剪切变形 变形后轴线切向与变形前轴线之间的转角 ( x). 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 9 其中 (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角 . 假设 : 截面上均匀分布剪应变 弯曲产生的位移： ( x) 相应给出沿着中线剪切角 xz 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 10 内部力 其中假设 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 11 实际上 xz采用以下形式： 其中变量与 z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素 k修正剪应力 ： 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 12 其中 k为与截面及泊松比 相关的函数 ,可从弹性理论推导得到 假设变形场的整体势能为： 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 13 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 14 o 铁木辛柯梁单元 采用两个独立变量 3.2 离散公式 挠度 w 截面曲率，不考虑剪切 每个单元的节点数量 Lagrange插值函数 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 15 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 16 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 17 o 挠度与转动采用了同阶的插值表示式。 o dw/dx 与 不同阶，因此，泛函中的第二项 中的 dw/dx-的积分，对于柔性梁（ l/n 趋于 无穷大时）会被严重放大。 o 除非 是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-不会为零。这种现象称为 剪切闭锁 。 shear-locking 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 18 几种方法避免产生剪切闭锁 o 减缩积分 n 数值积分采用比精确积分要求少的积分点数 o 假设剪切应变 o 替代插值函数 举例说明 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam o 这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 了单元的精度。 19 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam o 基于最小位能原来基础上建立的位移有 限元，其解答具有下限性质。即有限元的 计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度 。选取缩减积分方案将使有限元计算模型 的刚度有所降低，因此可能有助于提高计 算精度。 另外，这种缩减积分方案对于 泛函中包含罚函数的情况也常常是必须的 ，用以保证和罚函数相应的矩阵的奇异性 （见相应教程），否则将可能导致完全歪 曲了的结果。 20 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 21 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 22 Timoshenko 梁 （采用精确积分） 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 23 采用缩减积分 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 24 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 25 结构离散 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承 的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求 单元两端点号差最小。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 26 坐标系 有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系 。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局 部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。 并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这 样，同类型单元刚度矩阵相同。 X Y P x yx y 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 27 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有 2个节点 i、 j。 约定： 单元坐标系的原点置于节点 i；节点 i到 j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中 x轴的正向。 y 轴、 z轴都与 x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和 z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。 xy zi j 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 28 平面桁架杆单元（ 2D LINK1） 空间杆单元（ 3D LINK8） 平面刚架， BEAM3 空间梁单元 (BEAM4) 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 29 2-D Elastic Beam three degrees of freedom at each node Ansys 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 30 BEAM3 is a uniaxial element with tension, compression, and bending capabilities BEAM23 2-D Plastic Beam a uniaxial element with tension-compression and bending capabilities This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 31 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 32 3-D Elastic Beam BEAM4 is a uniaxial element with tension, compression, torsion, and bending capabilities. six degrees of freedom at each node BEAM24 3-D Thin-walled Beam The element has plastic, creep, and swelling capabilities in the axial direction as well as a user-defined cross-section. This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 33 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 34 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 35 BEAM188 3-D Linear Finite Strain Beam BEAM188 is suitable for analyzing slender to moderately stubby/thick beam structures. This element is based on Timoshenko beam theory. Shear deformation effects are included. This element is well-suited for linear, large rotation, and/or large strain nonlinear applications. 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 36 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 37 BEAM189 3-D Quadratic Finite Strain Beam BEAM189 is a quadratic (3-node) beam element in 3-D. For a description of the low-order beam, see BEAM188. 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 38 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 39 有限元程序设计方法简介 程序基本框图 1、输入基本数据（结构描述） ： （ 1）控制数据：如结点总数、单 元总数、约束条件总数等； （ 2）结点数据：如结点编号、结 点坐标、约束条件等； （ 3）单元数据：如单元编号、单 元结点序号、单元的材料特性 、几何特性等； （ 4）载荷数据：包括集中载荷、 分布载荷等。 开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果 结束 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 40 2、单元分析 （ 1）各单元的 bi,ci(i,j,m) ， 面积 A； （ 2）应变矩阵 B，应力矩阵 S； （ 3）单元刚度矩阵 k； （ 4）单元等价载荷列向量 F。 开始 输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量 引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果 结束 3、系统分析 （ 1）整体刚度矩阵 K的组装； （ 2）整体载荷列阵 P的形成； K的存储；约束引入；求解 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 41 u总刚存贮 o 全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮 空间，很少采用。 Ki,j o 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元 素。 o 半带宽存贮法 ： 存贮上三角形（或下三角 形）半带宽以内的元素 。 o 一维压缩存贮法 ： 半带宽存贮中仍包含了 许多零元素。存贮每一行的第一个非零元 素到主对角线元素。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 42等带宽形式 UBW UBW行 号 1 IR N 1列 号 JC 行 号 1 IR N 1 JC-(IR-1) 方阵形式 （ 1）半带宽存贮法 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 43 方阵存贮和半带宽存贮地址关系 存贮方式 行号 列号 方阵存贮 IR JC 等带宽存贮 IR JC-IR+1 u 半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最 大差值是 d，则最大半带宽为 UBW ： u结点编号：欲使最大半带宽 UBW 最小，必须注 意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点 号差最小。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 44 举例 B = 2(4-1+1) = 8 B = 2(6-1+1) = 12 Advantages of 2D Storage 1)Space-saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large. 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 45 例：计算下图半带宽。 结点数 N=91，总刚 K中的元素总数为： 82（ 912） （ 91 2 ） =33124 最大半带宽 UBW=(7+1) 2=16，半带宽存储矩阵元素总数为 182 16=2912，约方阵元素的 8.8%。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 46 （ 2） 变带宽存贮 （ 一 维压缩存贮） 等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真 研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在 平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作 量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存 、不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存 贮可以实现（也称一维数组存贮） 。变带宽存贮编 程技巧要求较高，程序较长。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 47 对 称 u方阵形式的刚度矩阵 K UBW =4 顶 线 顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 48 1 2 4 6 10 12 16 18 MAXA 22 u一维数组 A存贮刚度矩阵 K 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 49 变带宽存贮：按列存贮方式。 从左到右，逐列存 放；对每一列，先存主对角线元素，然后由下而上顺 序存放，直到顶线下第一个元素为止。 为避免混淆， 我们把存贮 K的一维数组称为 A。 实现变带宽存贮的关键问题是：总刚中元素 Kij在 一维数组 A中的地址是什么？为此，需要知道主元 Kii 在 A中的位置和相应列高 hi。 u主元位置：采用一个一维数组 MAXA存主元在 A中 位置。 MAXA =1,2,4,6,10,12,16,18， 22。 u列高 hj：第 j行的左带宽。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 50 从第 j列的主对角线元素起到该列上方第一个非零 元素为止，所含元素的个数称为第 j列的 列高 ，记为 hj ；如果把第 j列上方 第 1个非零元素的行号 记为 mj，则 第 j列的列高为 hj = j - mj + 1 其实， hj就是第 j行的左带宽，因而必有 UBW= max(h j) j=1,2, ,N 利用节点位移信息数组 ID （去约束后节点位移自 由度编码），可容易地确定刚度矩阵 K任何一列的列 高。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 51 1 2 34 1 6 7 8 3 4 5 2 x Y 例：求图示框架结构 h7=?。 利用 ID数组得各单元的连接数组 LM（假定小号为 i） （ 1） ID数组 节 点号： 1 2 3 4 按列，遇 1变 0，遇 0加 1。 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 52 连接数组： 1号单元： LM=0, 0, 1, 0, 0, 2 2号单元： LM=0, 0, 2, 3, 4, 5 3号单元： LM=3, 4, 5, 6, 7, 8 4单元： LM=0, 0, 1, 6, 7, 8 1 2 34 1 6 7 8 3 4 5 2 x Y 1 2 3 4 福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 53 a) 如果 ID（ i, j ) = 0 则表明 j号节点第 i个自由度受有约束。 b) 如果 ID( i, j