江苏省南通市2017届高考全真模拟数学试题（一）含答案

2017 年江苏高考数学全真模拟试卷一 试题 1 第 卷（共 60 分） 一、 填空题：本大题共 14 个小题 ,每小题 5 分 ,共 70 分 . 0,1, 2A ，则 A 的子集个数为 z ,2 2（其中 0a ， i 为虚数单位） | | |则 a 的值为 输出的结果 S y x （ e 是自然对数的底数）是曲线 的一条切线，则实数 b 的值是 、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 , , nx x ，若数据1ax b，2ax b，b ( , )a b R的方差为 12，则 a 的值为 正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为 1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 果双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的焦距为 2 ( 0)，那么当,的最大值是 1 , 0()( 1 ) , 0x x x ，若方程 ( ) l o g ( 2 ) ( 0 1 )af x x a 有且仅有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 10. 已知函数 ( ) 2 c o sf x x x ， 数 列 差 为8的 等 差 数 列 ， 若1 2 3( ) ( ) ( )f a f a f a4()5( ) 5，则 23 1 5 ( )f a a a 11. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 直 线 l 与圆 221 :1C x y和圆222 : ( 5 2 ) ( 5 2 ) 4 9C x y 都相切，且两 个圆的圆心均在直线 l 的下方，则直线 l 的斜率为 n ，若关于 x 的不等式 2 ( 2 ) 8 0x m x n 对任意的 4,2x 都成立，则 443的最小值为 满足 3 ，若 2)3，则 ) 的值为 们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星 ，其中 ,到两个顶点的向量 到正六角星 12个顶点的向量都写成 ax 的形式，则 的最大值为 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 知点 (0,0)A ， (4,3)B ，若 ,点按顺时针方向排列构成等边三角形 且直线 x 轴交于点 D . （ 1）求 的值； （ 2）求点 C 的坐标 . 四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，平面11A 底面 且2. （ 1）求证： /面11 （ 2）求证：平面11A 平面1117. 已知城 A 和城 B 相距 20现计划以 直径的半圆上选择一点 C （不与点 A ， 造垃圾处理厂 城 的总影响度为对城 A 与城 B 的影响度之和 城 A 的距离为 x 建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y 圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为 k B 的中点时，对城 的总影响度为 （ 1）将 y 表示成 x 的函数 . （ 2）讨论（ 1）中函数 的单调性，并判断在 是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，请说明理由 . 18. 已知椭圆 :C 2231m x m y( 0)m 的长轴长为 26， O 为坐标原点 . （ 1）求椭圆 C 的方程和离心率 . （ 2）设点 (3,0)A ，动点 B 在 y 轴上，动点 P 在椭圆 C 上，且点 P 在 y 轴的右侧 P ，求四边形 积的最小值 . 19. 已知函数 32()f x a x b x c x b a ( 0)a . （ 1）设 0c . 若 ，曲线 ()y f x 在0的切线过点 (1,0) ，求0 若 ，求 ()0,1 上的最大值 . （ 2）设 ()2处取得极值，求证：11()f x x，22()f x x不同时成立 . 20. 若数列 m ，则将数列 m . （ 1）求数列 1， 3， 5， 6 和数列 2， 3， 10， 7 的距离 . （ 2）记 A 为满足递推关系111 nn a 的所有数列 集合，数列 A 中的两个元素，且项数均为 m b，1 3c，数列 016，求 m 的最大值 . （ 3）记 S 是所有 7 项数列 中 17n， 0或 1 ）的集合， ，且 T 中的任何两个元素的距离大于或等于 T 中的元素个数小于或等于 16. 试题 加题） 21.【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 按作答的前两小题评分 明过程或演算步骤 . A. 如图， C， 分别与圆 O 相切于点 D ， C ， 过圆心 O ，且 2D ，求证：2D . B. 在平面直角坐标系中，已知点 (0,0)A ， (2,0)B ， (2,2)C ， (0,2)D ，先将正方形 原点 A 逆时针旋转 90 ，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵 M . C. 在平面直角坐标系 ，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程 . D. 已知 ,证： 3 3 34 ( ) ( )a b a b . 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 M 中，抽取三个不同的元素构成子集1 2 3 , , a a a. （ 1）求对任意的 满足 | | 2的概率； （ 2）若1 2 3,a a 其公差为 ( 0) ，求随机变量 的分布列与数学期望 . n 项和为项公式为 1na n，且 221,1(),2 n . （ 1）计算 (1) ( 2 ) (3 )f f f， ， 的值； （ 2）比较 () 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 . 试卷答案 一、填空题 1. 8 2. 1 3. 124. 0 5. 146. 2 7. 1:27 8. 2 9. 11 , )3210. 2131611. 7 12. 80313. 1514. 5 二、解答题 1）设 ， ， 由三角函数的定义得 4， 3， 故 c o s c o s ( 6 0 ) 1 3 4 3 3c o s s i 1 0 ， 即 4 3 3c o D . （ 2）设点 ( , )C x y . 由（ 1）知 s i n s i n ( 6 0 ) 3 1 4 3 3c o s s i 1 0 ， 因为 5B， 所以 4 3 35 c o ， 3 4 35 s i ， 故点 4 3 3 3 4 3( , )22C . 1）在四棱柱1 1 1 1A B C D A B C D中，11/ C. 因为 平面111面11 所以 /面11（ 2）因为平面11A 底面 平面11A 底面 B ， 底面 且由2知 C ， 所以 平面11又11/ C， 故11面11而11面11 所以平面11A 平面1117. （ 1）由题意知 C ， AC x ， 20， 则 22400BC x， 所以224 400 ky (0 20)x . 因为当 10 2x 时， ， 代入表达式解得 9k ， 所以2249400y (0 20)x . （ 2）因为2249400y ， 所以3 2 28 9 ( 2 ) ( 4 0 0 )xy 4 2 23 2 21 8 8 ( 4 0 0 )( 4 0 0 ). 令 0y ，得 4 2 21 8 8 ( 4 0 0 )， 所以 2 160x ，即 4 10x . 当 0 4 10x 时， 0y ，所以函数2249400y 为减函数； 当 4 10 20x 时， 0y ，所以函数2249400y 为增函数 . 所以当 4 10x ， 即 点 C 到城 A 的 距 离 为 4 10 ， 函 数2249400y (0 20)x 有最小值 . 18. （ 1）由题意知椭圆 :C 221113， 所以 2 1 2 13b m， 故 12 2 2 6， 解得 16m， 所以椭圆 C 的方程为 22162. 因为 222c a b ， 所以离心率 63ce a. （ 2）设线段 中点为 D . 因为 P ，所以 P . 由题意知直线 斜率存在， 设点 P 的坐标为0 0 0( , )( 0 )x y y ， 则点 D 的坐标为 003( , )22直线 斜率00 3x ， 所以直线 斜率0031 ， 故直线 方程为0 0 0033()22y x . 令 0x ，得 2200092 ，故 220009(0 , )2. 由 2200162，得 220063，化简得 20 2023(0, )2. 因此，O A P O A A S四 边 形200023113 | | 3 | |2 2 2 2000233 ( | | | |)22 0 033( 2 | | )2 2 | |y y 00332 2 | |2 2 | |y y 33 当且仅当0 032 | | 2 | |y y 时，即 0 3 2 , 2 2y 时等号成立 故四边形 积的最小值为 33 1）当 0c 时， 32()f x a x b x b a . 若 ，则 32()f x a x a x， 从而 2( ) 3 2f x a x a x， 故曲线 ()y f x 在0的切线方程为 3200()y a x a x 20 0 0( 3 2 ) ( )a x a x x x. 将点 (1,0) 代入上式并整理得 200(1 )0 0 0(1 )(3 2 )x x x， 解得0 0x 或0 1x . 若 ，则令 2( ) 3 2 0f x a x b x ，解得 0x 或 2 13bx a. （）若 0b ，则当 0,1x 时， ( ) 0， 所以 ()0,1 上的增函数， 从而 ()1) 0f . （ 0b ，列表： 所以 ()1) 0f . 综上， (). （ 2）假设存在实数 ,得11()f x x与22()f x x同时成立 . 不妨设12则12( ) ( )f x f x. 因为12 () 所以 2( ) 3 2f x a x b x c 123 ( ) ( )a x x x x . 因为 0a ，所以当12 , x x x时， ( ) 0， 故 (), 从而12( ) ( )f x f x，这与12( ) ( )f x f x矛盾， 故假设不成立 . 既不存在实数 a ， b ， c ，使得11()f x x，22()f x x同时成立 . 20. （ 1）由题得数列 1， 3， 5， 6 和数列 2， 3， 10， 7 的距离为 7. （ 2）设1其中 0p 且 1p . 由111 nn a ， 得211 pa p ，31a p ，411pa p ， 5， . 所以1526 . 因此集合 A 中的所有数列都具有周期性，且周期为 4. 所以数列 2，2 3 ，1 12 ， 13*()， 数列 3 ，2 2 ，1 13 ， 12*(). 因为 111| | | |i i c b c ， 所 以项数 m 越大，数列 因为17|3， 所以 3 4 5 6 4 8 5 411| | | |i i i c b c 7 8 6 4 2 0 1 63 ， 因此，当 3456m 时，1| | 2 0 1 6m . 故 m 的最大值为 3455. （ 3）假设 T 中的元素个数大于或等于 17. 因为数列 0或 1， 所以仅由数列前三项组成的数组（1a，2a，3a）有且只有 8 个：（ 0， 0， 0），（ 1， 0， 0），（ 0， 1， 0），（ 0， 0， 1），（ 1， 1， 0） ，（ 1， 0， 1），（ 0， 1， 1），（ 1， 1， 1） . 那么这 17 个元素之中必有 3 个具有相同的1a，2a，3a. 设这 3 个元素分别为 c，2c，3c，4c，5c，6c，7c； d，2d，3d，4d，5d，6d，7d； f，2f，3f，4f，5f，6f，7f，其中1 1 1c d f，2 2 2c d f，3 3 3c d f. 因为这 3 个元素中每两个元素的距离大于或等于 3， 所以在 ( 4,5, 6, 7)i 至少有 3 个成立 . 不妨设445566 由题意得4c，4，另一个等于 1. 又因为4 0f 或 1，所以4444必有一个成立 . 同理得：5555必有一个成立，6666必有一个成立， 所以“( 4,5,6)i 中至少有两个成立”和“( 4,5,6)i 中至少有两个成立”中必有一个成立 . 故 71| | 2 和 71| | 2 中必有一个成立，这与题意矛盾 . 所以 T 中的元素个数小于或等于 16. 试题 加题） 21.【选做题】 得 90A D O A C B ， 又 ， 故 R t A D O R t A C B ， 所以 D. 又 2D ， 故 2D . 将正方形 原点 A 逆时针旋转 90 所对应的矩阵为 A ， 则 c o s 9 0 s i n 9 0 0 1s i n 9 0 c o s 9 0 1 0A . 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为 B ， 则 1010 2B， 所以连续两次变换所对应的矩阵 1 0 0 10111100022M B A . 题意知 （ 为参 数）， 因为 22s in c o s 1， 所以 22( 1) 1，即 2220x y x ， 化为极坐标方程得 2 2 c o s 0 ，即 2 ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 2 . 为 0a ， 0b ， 所以要证 3 3 34 ( ) ( )a b a b ， 只要证 2 2 34 ( ) ( ) ( )a b a a b b a b ， 即要证 2 2 24 ( ) ( )a a b b a b ， 只需证 23( ) 0， 而 ，故 23( ) 0成立 . 【必做题】 1）由题意知基本事件数为 39C， 而满足条件 | | 2，即取出的元素不相邻， 则用插空法，有 37 故所求事件的概率 3739512. （ 2）分析1 2 3,a a 1 的情况有 7 种 :1,2,3 ， 2,3,4 ， 3,4,5 ， 4,5,6 ， 5,6,7