2013年高考理科数学湖南卷试题与答案word解析版

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (湖南卷) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1(2013 湖南，理 1)复数 zi(1i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2(2013 湖南，理 2)某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否 存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 3(2013 湖南，理 3)在锐角 ABC 中，角 A， B 所对的边长分别为 a， b.若 2asin B b，则角 A 等于3 ( ) A B C D 12643 4(2013 湖南，理 4)若变量 x， y 满足约束条件 则 x2 y 的最大值是( ) ,1.y A B0 C D 52532 5(2013 湖南，理 5)函数 f(x)2ln x 的图象与函数 g(x) x24 x5 的图象的交点个数为( ) A3 B2 C1 D0 6(2013 湖南，理 6)已知 a， b 是单位向量， ab0，若向量 c 满足| c a b|1，则| c|的取值范围 是( ) A ， B ， C1， D1， 212 7(2013 湖南，理 7)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的 面积不可能等于( ) A1 B C D2 8(2013 湖南，理 8)在等腰直角三角形 ABC 中， AB AC4，点 P 为边 AB 上异于 A， B 的一点，光线从 点 P 出发，经 BC， CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过 ABC 的重心，则 AP 等于( ) A2 B1 C 83 D 4 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分 (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9(2013 湖南，理 9)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l： (t 为参数)过椭圆 C：,xya ( 为参数)的右顶点，则常数 a 的值为_ 3cos,2inxy 10(2013 湖南，理 10)已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2 的 最小值为_ 11(2013 湖南，理 11)如图，在半径为 的 O 中，弦 AB，CD 相交于点7 A P，PAPB2，PD1，则圆心 O 到弦 CD 的距离为_ 2 (二)必做题(1216 题) 12(2013 湖南，理 12)若 x2dx9，则常数 T 的值为0 T _ 13(2013 湖南，理 13)执行如图所示的程序框图，如果输入 a1，b2，则输出的 a 的值为_ 14(2013 湖南，理 14)设 F1，F2 是双曲线 C： (a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点若2 xy |PF1| PF2|6 a，且 PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为 _ 15(2013 湖南，理 15)设 Sn 为数列an的前 n 项和，Sn(1) nan ，nN*，则 1n (1)a3_； (2)S1 S2 S100_. 16(2013 湖南，理 16)设函数 f(x)axbxcx，其中 ca0，cb0. (1)记集合 M( a， b， c)|a， b， c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a b，则( a， b， c) M 所对应 的 f(x)的零点的取值集合为_； (2)若 a， b， c 是 ABC 的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号) x(，1)， f(x)0； xR，使 ax， bx， cx不能构成一个三角形的三条边长； 若 ABC 为钝角三角形，则 x(1,2)，使 f(x)0. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(2013 湖南，理 17)(本小题满分 12 分)已知函数 ， g(x)2 .sincos63fxsin (1)若 是第一象限角，且 f( ) ，求 g( )的值；35 (2)求使 f(x) g(x)成立的 x 的取值集合 2013 湖南理科数学 第 3 页 18(2013 湖南，理 18)(本小题满分 12 分)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株 该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米 (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望 4 19(2013 湖南，理 19)(本小题满分 12 分)如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AD BC， BAD90， AC BD， BC1， AD AA13. (1)证明： AC B1D； (2)求直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值 2013 湖南理科数学 第 5 页 20(2013 湖南，理 20)(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达 点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“ L 路径” 如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“ L 路 径” 某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20)， B(10,0)， C(14,0)处现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心 (1)写出点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)： (2)若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区， “L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位 置，使其到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小 21(2013 湖南，理 21)(本小题满分 13 分)过抛物线 E： x22 py(p0)的焦点 F 作斜率分别为 k1， k2的 两条不同直线 l1， l2，且 k1 k22， l1与 E 相交于点 A， B， l2与 E 相交于点 C， D，以 AB， CD 为直径的 圆 M，圆 N(M， N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l. (1)若 k10， k20，证明： 2 p2；FN (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ，求抛物线 E 的方程75 6 22(2013 湖南，理 22)(本小题满分 13 分)已知 a0，函数 f(x) .2a (1)记 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a)，求 g(a)的表达式； (2)是否存在 a，使函数 y f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若 存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 2013 湖南理科数学 第 7 页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (湖南卷) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1答案：B 解析： zii 21i，对应点为(1,1)，故在第二象限，选 B 2答案：D 解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样 3答案：D 解析：由 2asin B b 得 2sin Asin B sin B，故 sin A ，故 A 或 .又 ABC 为锐角333223 三角形，故 A . 4答案：C 解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分 令 x2 y d，即 ，12dx 由线性规划知识可得最优点为 ，所以 dmax .,31453 5答案：B 解析：设 f(x)与 g(x)图象的交点坐标为( x， y)， 则 y2ln x， y x24 x5，联立得 2ln x x24 x5，令 h(x) x24 x52ln x(x0)， 由 h( x)2 x4 0 得 x1 ， x2 (舍)1 当 h( x)0 时，即 x(0, )时， h(x)单调递减； 当 h( x)0，即 x( ，)时， h(x)单调递增2 又 h(1)20， h(2)12ln 20， h(4)52ln 40， h(x)与 x 轴必有两个交点，故答案为 B 6答案：A 解析：由题意，不妨令 a(0,1)， b(1,0)， c( x， y)，由| c a b|1 得( x1) 2( y1) 21，| c| 可看做( x， y)到原点的距离，而点( x， y)在以(1,1)为圆心，以 1 为半径的圆2y 上如图所示，当点( x， y)在位置 P 时到原点的距离最近，在位置 P时最远，而 PO ， P O ，故选 A 8 7答案：C 解析：根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为 cos ，如图所示2 故正视图的面积为 S cos (0 )，24 1 S ， 而 ，故面积不可能等于 .211 8答案：D 解析：以 A 为原点， AB 为 x 轴， AC 为 y 轴建立直角坐标系如图所示 则 A(0,0)， B(4,0)， C(0,4) 设 ABC 的重心为 D，则 D 点坐标为 .4,3 设 P 点坐标为( m,0)，则 P 点关于 y 轴的对称点 P1为( m,0)，因为直线 BC 方程为 x y40，所以 P 点关于 BC 的对称点 P2为(4,4 m)，根据光线反射原理， P1， P2均在 QR 所在直线上， ，12Dk 即 ， 43m 解得， m 或 m0. 当 m0 时， P 点与 A 点重合，故舍去 m .43 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分 2013 湖南理科数学 第 9 页 (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9答案：3 解析：由题意知在直角坐标系下，直线 l 的方程为 y x a，椭圆的方程为 ，所以其右顶点 2194xy 为(3,0)由题意知 03 a，解得 a3. 10答案：12 解析：由柯西不等式得(1 21 21 2)(a24 b29 c2)( a2 b3 c)2， 即 a24 b29 c212，当 a2 b3 c2 时等号成立，所以 a24 b29 c2的最小值为 12. 11答案： 解析：如图所示，取 CD 中点 E，连结 OE， OC 由圆内相交弦定理知 PDPC PAPB， 所以 PC4， CD5，则 CE ， OC .27 所以 O 到 CD 距离为 OE . 253 (二)必做题(1216 题) 12答案：3 解析： x2， x2dx x3 T309， T3.310T1| 13答案：9 解析：输入 a1， b2，不满足 a8，故 a3； a3 不满足 a8，故 a5； a5 不满足 a8，故 a7； a7 不满足 a8，故 a9，满足 a8，终止循环输出 a9. 14答案： 解析：不妨设| PF1| PF2|，由 可得12|6,PF12|4,.PFa 2 a2 c， PF1F230， cos 30 ， 24a 整理得， c23 a2 ac0，即 e2 e30， .3e 15答案：(1) (2)1613 16答案：(1) x|0 x1 (2) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解： ()sincosf x sin x cos x cos x sin x32123 sin x， g(x)2 1cos x.sin 10 (1)由 f( ) 得 sin .3535 又 是第一象限角，所以 cos 0. 从而 g( )1cos 1 2sin .45 (2)f(x) g(x)等价于 sin x1cos x，即 sin xcos x1.33 于是 .1sin62 从而 2k x 2 k ， kZ，56 即 2k x2 k ， kZ.3 故使 f(x) g(x)成立的 x 的取值集合为 .2| , 18解：(1)所种作物总株数 N1234515，其中三角形地块内部的作物株数为 3，边界上的作 物株数为 12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 36 种，选取的两株作132C 物恰好“相近”的不同结果有 3328 种 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为 .869 (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列 因为 P(Y51) P(X1)， P(Y48) P(X2)， P(Y45) P(X3)， P(Y42) P(X4)， 所以只需求出 P(X k)(k1,2,3,4)即可 记 nk为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数( k1,2,3,4)，则 n12， n24， n36， n43. 由 P(X k) 得N P(X1) ， P(X2) ， P(X3) ， P(X4) .5156215315 故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P 4 所求的数学期望为 E(Y)51 48 45 42 46.2154251369025 19解法 1：(1)如图，因为 BB1平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以 AC BB1. 又 AC BD，所以 AC平面 BB1D 而 B1D 平面 BB1D，所以 AC B1D (2)因为 B1C1 AD，所以直线 B1C1与平面 ACD1所成的角等于直线 AD 与平面 ACD1所成的角(记为 ) 如图，连结 A1D，因为棱柱 ABCD A1B1C1D1是直棱柱，且 B1A1D1 BAD90，所以 A1B1平面 ADD1A1. 从而 A1B1 AD1. 又 AD AA13，所以四边形 ADD1A1是正方形，于是 A1D AD1. 故 AD1平面 A1B1D，于是 AD1 B1D 由(1)知， AC B1D，所以 B1D平面 ACD1.故 ADB190 . 在直角梯形 ABCD 中，因为 AC BD，所以 BAC ADB 从而 Rt ABCRt DAB， 2013 湖南理科数学 第 11 页 故 .即 AB .ABCD3DABC 连结 AB1，易知 AB1D 是直角三角形， 且 B1D2 BB12 BD2 BB12 AB2 AD221， 即 B1D . 在 Rt AB1D 中，cos ADB1 ，即 cos(90 ) .317B217 从而 sin .27 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 .217 解法 2：(1)易知， AB， AD， AA1两两垂直如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设 AB t，则相关各点的坐标为： A(0,0,0)， B(t,0,0)， B1(t,0,3)， C(t,1,0)， C1(t,1,3)， D(0,3,0)， D1(0,3,3) 从而 ( t,3，3)， ( t,1,0)， ( t,3,0) ACB 因为 AC BD，所以 t2300.解得 或 (舍去)B3tt 于是 ( ，3，3)， ( ，1,0)1B 因为 3300，所以 ，即 AC B1DA1 (2)由(1)知， (0,3,3)， ( ，1,0)， (0,1,0)1D C 设 n( x， y， z)是平面 ACD1的一个法向量，则 即1,0C ,30.xy 令 x1，则 n(1， ， ) 设直线 B1C1与平面 ACD1所成角为 ，则 sin |cos n， | 1BCn .327 即直线 B1C1与平面 ACD1所成角的正弦值为 .217 20解：设点 P 的坐标为( x， y) (1)点 P 到居民区 A 的“ L 路径”长度最小值为 |x3| y20|， xR， y0，) (2)由题意知，点 P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和的最小值为点 P 分别到三个居民区的“ L 路径” 长度最小值之和(记为 d)的最小值 当 y1 时， d| x10| x14| x3|2| y| y20|， 因为 d1(x)| x10| x14| x3| x10| x14|，(*) 当且仅当 x3 时，不等式(*)中的等号成立， 又因为| x10| x14|24，(*) 当且仅当 x10,14时，不等式(*)中的等号成立 所以 d1(x)24，当且仅当 x3 时，等号成立 d2(y)2 y| y20|21，当且仅当 y1 时，等号成立 故点 P 的坐标为(3,1)时， P 到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小，且最小值为 45. 当 0 y1 时，由于“ L 路径”不能进入保护区， 所以 d| x10| x14| x3|1|1 y| y| y20|， 12 此时， d1(x)| x10| x14| x3|， d2(y)1|1 y| y| y20|22 y21. 由知， d1(x)24，故 d1(x) d2(y)45，当且仅当 x3， y1 时等号成立 综上所述，在点 P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“ L 路径”长度之和最小 21解：(1)由题意，抛物线 E 的焦点为 F ，直线 l1的方程为 y k1x ，0,p2p 由 得 x22 pk1x p20.12, pykx 设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)， 则 x1， x2是上述方程的两个实数根 从而 x1 x22 pk1， y1 y2 k1(x1 x2) p2 pk12 p. 所以点 M 的坐标为 ， ( pk1， pk12),kFM 同理可得点 N 的坐标为 ， ( pk2， pk22)2,N 于是 p2(k1k2 k12k22)F 由题设， k1 k22， k10， k20， k1 k2， 所以 0 k1k2 1. 故 p2(11 2)2 p2.MN (2)由抛物线的定义得| FA| y1 ，| FB| y2 ，p 所以| AB| y1 y2 p2 pk122 p. 从而圆 M 的半径 r1 pk12 p， 故圆 M 的方程为 (x pk1)2 ( pk12 p)2.21k 化简得 x2 y22 pk1x p(2k121) y p20.34 同理可得圆 N 的方程为 x2 y22 pk2x p(2k221) y p20. 于是圆 M，圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为( k2 k1)x( k22 k12)