2017届上海市普陀区高三二模数学卷(含答案)

徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 1 页 2017 届第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科 20174 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 设全集 ，集合 ，则 =_1,234U2|540,AxxZUCA 2. 参数方程为 （ 为参数）的曲线的焦点坐标为_xty 3. 已知复数 满足 ，则 的取值范围是_z12z 4. 设 数 列 的 前 项 和 为 ，若 ，则 =_nanS*1()3naNlimnS 5. 若 的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则 _*()(4,)2xN 6. 把 分 别 写 在 张 形 状 大 小 一 样 的 卡 片 上 ， 随 机 抽 取 一 张 卡 片 ， 则 抽 到135678910、 、 、 、 、 、 、 、 、 写 着 偶 数 或 大 于 的 数 的 卡 片 的 概 率 为 _ （结果用最简分数表示） 7. 若 行 列 式 中 元 素 的 代 数 余 子 式 的 值 为 ， 则 实 数 的 取 值 集 合 为 24cosin0i82x 12x _ 8. 满 足 约 束 条 件 的 目 标 函 数 的 最 小 值 是 _xyzyx 9. 已知函数 若函数 有两个不同的零点，则实数 2log0()539xf， ()gfk 的取值范围是 _k 10. 某部门有 8 位员工，其中 6 位员工的月工资分别为 8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元） ，另两位员工的月工资数据不清楚，但 两人的月工资和为 17000 元，则这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为_ 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 2 页 元 11. 如 图 ： 在 中， 为 上不同于 的任意一点，点 满ABCM,BCN 足 若 ，则 的最小值为2N NxyA29xy _ 12. 设单调函数 的定义域为 ，值域为 ，如果单调函数 使得函数()ypDA()yqx 的值域也是 ，则称函数 是函数 的一个“保值域函数” ()ypqxA()yqx()ypx 已知定义域为 的函数 ，函数 与 互为反函数，且 是,ab2()3hxfg()hx 的一个 “保值域函数” ， 是 的一个“保值域函数” ，则()fxg() _ba 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选 项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. “ ”是“ ”的（ ） 1xx （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 九章算术是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有 委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意 思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分 之一） ，米堆底部的弧长为 尺，米堆的高为 尺，问米堆的体85 积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为 立方尺，1.62 由此估算出堆放的米约有（ ） （A） 斛 （B） 斛 （C ） 斛 （D） 斛2134 63 15. 将函数 的图像按向量 平移，得到的函数图像与函数1yx(1,0)a 的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）sin()yx （A） （B ） （C ） （D）2468 MCB A 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 3 页 16. 过椭圆 右焦点 的圆与圆 外切，则该圆直径 的 21(4)xymF2:1OxyFQ 端点 的轨迹是（ ）Q （A）一条射线 （B）两条射线 （C）双曲线的一支 （D）抛物线 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位 置写出必要的步骤 17. （ 本 题 满 分 14 分 ， 第 1 小 题 满 分 6 分 ， 第 2 小 题 满 分 8 分 ） 如图：在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，PABCDABCD 2PAD （1）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）若点 、 分别是棱 和 的中点，求证： 平面EFADPCEF PBC 18. （ 本 题 满 分 14 分 ， 第 1 小 题 满 分 6 分 ， 第 2 小 题 满 分 8 分 ） 已知函数 是偶函数()2 xmf （1）求实数 的值； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围x2()31kfx(,0)k 19. （ 本 题 满 分 14 分 ， 第 1 小 题 满 分 7 分 ， 第 2 小 题 满 分 7 分 ） 如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一 条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的 点处，A 乙船在中间的 点处，丙船在最后面的 点处，且BC FEDCBAP 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 4 页 一架无人机在空中的 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得:3:1BCAP ， （船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）0P09BC （1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； （2）若此时甲、乙两船相距 米，求无人机到丙船的距离 （精确到 米）11 20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 5 分） 如图：椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，它们在 2xy21(0,)xyab12F、 轴右侧有两个交点 、 ，满足 将直线 左侧的椭圆部分（含 , 两yAB2FB ABAB 点）记为曲线 ，直线 右侧的双曲线部分（不含 , 两点）记为曲线 以 为端点1W2W1 作一条射线，分别交 于点 ，交 于点 (点 在第一象限),设此时(,)pPxy2W()Mxy = .MF11m （1）求 的方程; 2 （2）证明: ，并探索直线 与 斜率之间的关系;px2FP （3）设直线 交 于点 ，求 的面积 的取值范2F1WN1MS 围. 21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分） 现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3 第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4 第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 第 行：先抄写第 1 行,接着按原序抄写第 2 行,然后按原序抄写第 3 行,直至按原序抄写k 21P ABNMF2 yxO 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 5 页 第 行,最后添上数 .（如第四行，先抄写第一行的数 1，接着按原序抄写第1kk 二行的数 1，2，接着按原序抄写第三行的数 1，1，2，3，最后添上数 4）. 将按照上述方式写下的第 个数记作 (如 , , , , ,nna1a473a )1453,a （1）用 表示数表第 行的数的个数，求数列 的前 项和 ；ktkktkT （2）第 8 行中的数是否超过 73 个？若是，用 表示第 8 行中的第 73 个数，试求 和 0na0n 的值；若不是，请说明理由；0na （3）令 ，求 的值123nSa 2017S 参考答案 一、 填空题：(共 54 分，第 16 题每题 4 分；第 712 题每题 5 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1,4(,0),318710 7. 8. 9. 10. 11. 12. |2,3xkZ25(,)9025 1 二、 选择题：(共 20 分，每题 5 分) 13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、 zyxPCBD A(O) FEzyxPCBD A(O) 解：（1）以点 A 为原点，以 AB 方向为 x 轴正方向，AD 方向为 y 轴正方向，建立空间直角坐 标系，则 ,-2 分(0,2)(,0)(2,)(,0)(,2)P 所以， ,-4 分B 设 的夹角为 ，,CA 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 6 页 则 ,-5 分43cos2PCAB 所以， 的夹角为 ，, arcos3 即异面直线 PC 与 AB 所成角的大小为 .-6 分3arcs （2）因为点 、 分别是棱 和 的中点，EFADPC 可得 ， ，所以 ，-8 分(0,1)(,)(1,0)E 又 ， ，-10 分BC 2,)P 计算可得 ，-12 分EFBC 所以， ，又 ，所以 EF平面 PBC.-14 分, 18、(1) 因为函数 是定义域为 R 的偶函数，所以有 ，-2 分41()2 xmf ()fxf 即 ， 42 xx 即 ， -4 分1 xxm 故 m=1. -6 分 (2) ，且 在 上恒成立， 24()0,31xfk2()31kfx(,0) 故原不等式等价于 在 上恒成立，-8 分2()f,0) 又 x ，所以 ， -10 分(,0),x 所以 ，-11 分1,()2f 从而 ，-12 分23k 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 7 页 因此， . -14 分1,3k 19、(1)在 中，由正弦定理，得APB 1sinsi2APBA ，-2 分 在 中，由正弦定理，得 C sisiCCBP ，-4 分 又 ， ，-6 分31BAsinsiBPC 故 .即无人机到甲、丙两船的距离之比为 .-7 分2PC23 (2)由 得 AC=400，且 ， -9 分:3: 01A 由(1)，可设 AP=2x，则 CP=3x， -10 分 在 中，由余弦定理，得 160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，-12 分AP 解得 x= ，4019 即无人机到丙船的距离为 CP=3x= 米. -14 分201975 20、解：（1）由条件，得 ，根据 知，F 2、A 、B 三点共线， 2(1,)F2A 且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B 关于 x 轴对称， 故 AB 所在直线为 x=1，从而得 ， .-2 分(1,)(,) 所以， ,又因为 为双曲线的焦点，所以 ，21ab2F21ab 解得 . -3 分 因此， 的方程为 ( ). -4 分2W 21xyx (2) 由 P(xp,yp)、M(x M,yM)，得 =(xp+1,yp)， =(xM+1,yM)，1FP 1 BP 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 8 页 由条件，得 ，即 ， -5 分 1()Mpxmy 1Mpxmy 由 P(xp,yp)、M (xM,yM)分别在曲线 和 上，有1W2 ，消去 yp，得 2221()()ppmxy (*) -7 分23440pxm 将 代入方程(*) ，成立，因此 (*)有一根 ,结合韦达定理得另一根为1 1px ，因为 ,所以 73， 所以，按上述顺序依次写下的第 73 个数应是第 7 行的第 73-63=10 个数，同上 过程知 =2， -9 分7310 所以， . -10 分02na （3）由于数表的前 n 行共有 个数，于是，先计算 .n21nS 方法一：在前 个数中，共有 1 个 ，2 个 ，2 2 个 ，2 n-k21 个 ，2 n-1 个 1， -12 分k 因此 =n1+(n-1)2+ k2n-k+22n-2+12n-11S 徐汇区高三数学 本卷共 4 页 第 10 页 则 2 =n2+(n-1)22+ k2n-k+1+22n-1+12n1nS 两式相减，得 = +2+22+2n-1+2n2 n+1-n-2. -15 分21n 方法二：由此数表构成的过程知， ，-12 分11nnS 则 +n+2=2( +n+1)，21S12 即数列 +n+2是以 S